Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2023-11-15 | 187 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
В простейшем случае методика решения ОДУ следующая : предположим, что решение , подставим его в уравнение и получим тождество. Из тождества равносильными преобразованиями получим общее решение. Проверить подстановкой в уравнение.
Уравнения с разделяющимися переменными
Подставляя сюда предполагаемое решение, получаем тождество, которое проинтегрируем по сохраняет знак строго монотонная функция . Проверим, что (3) определяет общее решение. Пусть
Тогда , т.е. обращают (1) в тождество (3) общее решение, а (2) – общий интеграл.
Замеч. Если в какой-либо точке , то функция тоже является решением уравнения (1) и его нужно присоединить к (3)
Опр. Выражения ( M,N- известные функции двух переменных, dx,dy – дифференциалы переменных x, y) называется дифференциальной формой, а уравнения =0 – уравнением в дифференциалах. Его решением называется каждое из решений ОДУ 1-го порядка .
Наиболее общий вид уравнения с разделяющимися переменными Решается аналогичным образом.
Рассмотрим уравнение
(10)
(12) , где M,N – однородные функции одной степени однородности
Опр. Уравнения (11) и (12) называется однородными ОДУ
Заменой , где однородные ОДУ сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными
Док-во: ; (12)
К однородным сводятся уравнения вида
Опр.(21) называется линейным ОДУ 1-го порядка. Если , то оно называется линейным однородным. В противоположном случае – линейным неоднородным.
Метод вариации произвольных постоянных
1. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение. Оно всегда является уравнением с разделяющимися переменными : . Тогда так как является решением этого уравнения) общее решение однородного уравнения можно записать в виде
|
(где
2. Для решения неоднородного уравнения сделаем замену переменных. где Тогда в (21) получим
Тогда
Теор.(Об общем решении неоднородного линейного ОДУ 1-го порядка)
Уравнение Бернулли
(31) . Полагаем . Тогда
, где
(41) называется уравнением Риккати
1841 г. Лиувиль доказал, что оно не интегрируемо в квадратурах в общем случае. Но если каким-либо образом известно частное решение этого уравнения, то общее решение можно найти путем сведения его к уравнению Бернулли заменой .
Разность любых двух частных решений уравнения Риккати является решением уравнения Бернулли.
Док-во: Пусть
. Соответственно общим интегралом УПД будет соотношение а решением ЗК (62) неявно задается соотношением
Интегрирующий множитель
Пусть не является УПД
Опр. Если существует дифференцируемая функция для становится УПД, называется интегрирующий множителем уравнения (*)
Каким условием должна удовлетворять
В одной области
или , т.е. должна удовлетворять уравнению в частных производных . В общем случае это уравнение решить еще труднее чем исходное (*). Известно, что при непрерывном дифференцировании не обращ в ноль одновременно, инт. множитель уравнения (*) существует.
Их существует много(инт. множество), а для того, чтобы решить уравнение, достаточно одной такой функции. Покажем, при каких условиях уравнение (*) имеет интегрирующий множитель специального вида, например
. Обозначение: . Тогда подставим в (**), получим :
(***) ОДУ
Рассмотрим некоторые частные случаи, когда интегрирующий множитель легко находится.
Пусть не зависит от y, т.е. . Тогда инт. мн-ль находится из ур-я:
Пусть не зависит от x, т.е. . Тогда инт. мн-ль находится из ур-я:
Пусть P(x,y) и Q(x,y) – однор. ф-ии порядка . Введем , где
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!