Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-06-29 | 309 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Комплексным числом в алгебраической форме записи называется выражение вида
. (4.1)
где и — вещественная и мнимая составляющие комплексного числа, которые могут быть записаны в виде и соответственно; — мнимая единица.
Комплексное число может быть изображено графически в виде точки на плоскости в прямоугольной системе координат, у которой по оси абсцисс откладывается вещественная часть , а по оси ординат — мнимая часть комплексного числа (рис. 4.1, а). В этом случае плоскость называется комплексной, ось абсцисс — вещественной осью, а ось ординат — мнимой осью.
Если точке поставить в соответствие вектор, проведённый из начала координат в эту точку (рис. 4.1, б), то полученная диаграмма называется векторной диаграммой комплексного числа . Величина , равная длине вектора , называется модулем комплексного числа
, (4.2)
а угол наклона вектора относительно положительной вещественной полуоси называется аргументом комплексного числа .
За положительное направление отсчета аргумента принимается направление против часовой стрелки. Главное значение аргумента определяется на интервале [ ].
Тогда вещественная и мнимая составляющие комплексного числа определяются в виде:
;
.
где
. (4.3)
Подставляя полученные выражения в (4.1), получаем тригонометрическую форму записи комплексного числа
.
Используя формулу Эйлера , можно тригонометрическую форму записи комплексного число преобразовать в показательную форму
,
где е — основание натурального логарифма.
Два комплексных числа и равны, если равны их вещественные и мнимые чисти и , или, если равны их модули , а аргументы удовлетворяют условию , где .
Два комплексных числа называются комплексно-сопряженными, если их вещественные части равны, а мнимые части отличаются только знаком. Тогда алгебраическая форма записи комплексно сопряженных чисел имеет вид и , а показательная — и , где символ «*» означает комплексное сопряжение.
Сумма двух комплексно сопряженных чисел является действительным числом , равным удвоенной вещественной составляющей.
Понятия "больше" и "меньше" применимы только для сравнения модулей и аргументов комплексных чисел, а также их вещественных и мнимых составляющих и не применимы к самим комплексным числам.
Арифметические действия над комплексными числами выполняются аналогично действиям с действительными числами.
Умножение комплексного числа на действительное число вызывает изменение только модуля комплексного числа в раз , что эквивалентно изменению длины вектора (рис. 4.1) в раз.
Умножение комплексного числа на комплексное число , модуль которого равен , изменяет только аргумент комплексного числа на , что эквивалентно повороту вектора на комплексной плоскости (рис. 4.1, б) на угол ,
.
Тогда умножение комплексного числа на эквивалентно повороту вектора на угол , а умножение на — повороту вектора на угол .
Поскольку модуль комплексного числа в соответствии с (4.2) равен
,
то на комплексной плоскости это число изображается в виде единичного вектора, длина которого равна единице, повернутого относительно вещественной оси на угол .
В теории функций комплексной переменной широкое применение находит показательная функция , модуль которой также равен единице , а аргумент является линейной функцией времени . В случае функция изображается на комплексной плоскости в виде вектора единичной длины, вращающегося вокруг начала координат с угловой скоростью . Поэтому функцию называют оператором вращения.
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!