Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-12-21 | 359 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Цели работы: получить представление о пределах, их свойствах, замечательных пределах, теореме Лопиталя и научиться вычислять пределы, раскрывать различные виды неопределенностей.
Краткое изложение темы.
Число А называется пределом функции при , если для любого сколь угодно малого найдется такое , что при . Это записывают так: .
Свойства пределов:
Если существуют и , то
1) ,
2) ,
3) (при ).
Используются также следующие пределы:
(первый замечательный предел);
(второй замечательный предел).
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
Пусть в некоторой окрестности точки (кроме, быть может, самой точки ) функции и дифференцируемы и . Если или , т. е. частное в точке представляет собой неопределенность вида или , то
,
если предел в правой части этого равенства существует.
Если частное в точке также есть неопределенность вида или и производные и удовлетворяют соответствующим условиям, то следует перейти к отношению вторых производных и т. д.
В случае неопределенности вида или следует алгебраически преобразовать данную функцию так, чтобы привести ее к неопределенности вида или и далее воспользоваться правилом Лопиталя.
Примеры выполнения заданий.
Пример 1. Найти предел .
Решение:
Ответ:
Пример 2. Найти предел .
Решение:
Имеем неопределенность вида .
.
Ответ:
Пример 3. Найти предел .
Решение:
Имеем неопределенность вида .
Умножим числитель и знаменатель дроби на сумму .
Ответ: .
Пример 4. Найти предел .
Решение:
Это – неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень , т.е. на :
.
Ответ: .
Пример 5. Найти предел .
Решение:
Используя первый замечательный предел, имеем
|
.
Ответ: .
Пример 6. Найти предел .
Решение:
Имеем .
Здесь мы воспользовались результатом предыдущего примера, приняв .
Ответ: .
Пример 7. Найти предел .
Решение:
Здесь имеет место неопределенность вида . Умножим и разделим данное выражение на :
Ответ:
Пример 8. Найти предел .
Решение:
Делением числителя на знаменатель выделим целую часть:
.
Таким образом, при данная функция представляет собой степень, основание которой стремится к единице, а показатель – к бесконечности (неопределенность вида ). Преобразуя функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел, получим
Так как при , то .
Учитывая, что , находим .
Ответ:
Пример 9. Найти .
Решение:
Это – неопределенность вида . Имеем
,
так как . Здесь правило Лопиталя применено дважды.
Ответ: .
Задания для практической работы.
Вариант № 1.
Вычислите пределы:
. | ||
. | ||
Дополнительные задания: | ||
Вариант № 2.
Вычислите пределы:
Дополнительные задания: | ||
Практическая работа № 3.
Тема: Дифференцирование функций.
Цели работы: закрепить умение находить производные по основным правилам дифференцирования, научиться дифференцировать сложные и неявные функции.
Краткое изложение темы.
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!