Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-12-13 | 639 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Действительно, при pi=mi формула (12.2.2) приобретает вид:
,
где mi – сосредоточенные массы, расположенные на оси абсцисс. Аналогично формулу (12.2.3) перепишем в виде
где m(х) – линейная плотность распределения масс. Из механики известно, что правые части двух последних формул представляют собой моменты инерции относительно оси, проходящей через точку а, такую, что , т.е. через центр тяжести системы.
Сокращённая формула для вычисления дисперсии
Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом её математического ожидания:
. (12.4.1)
Замечание 1. , т.к. величины и зависимы.
Замечание 2. При доказательстве была применена формула квадрата разности к случайной величине . По определению произведения случайных величин и согласно теореме 2 о квадрате случайной величины её возможные значения равны . Это возможные значения случайной величины . Поэтому можно использовать равенство .
Для непрерывной случайной величины формула (12.4.1) имеет вид:
. (12.4.2)
Если все возможные значения непрерывной случайной величины Х сосредоточены на отрезке [ a, b ], то:
. (12.4.3)
Замечание. Формулу (12.4.1) иногда записывают в виде
.
Пример. Найдем дисперсию случайной величины предыдущего примера по формуле (12.4.1). Для этого составим ряд случайной величины Х 2:
Х 2 | ||
р | 0,3 | 0,7 |
.
Получено то же значение, что и по определению дисперсии.
Свойства дисперсии
Все свойства докажем для дискретных случайных величин, но ими обладают и непрерывные величины.
|
1. Дисперсия случайной величины неотрицательна:
.
2. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
.
Замечание. Действительно, если случайная величина принимает только одно значение, то у нее нет разброса значений (рассеиваться она не может).
3. Нелинейность относительно умножения на константу. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
. (12.5.1)
4.Линейность относительно суммирования. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
. (12.5.2)
Доказательство. Воспользуемся свойствами математического ожидания и независимостью величин Х и Y (тогда математическое ожидание произведения равно произведению математических ожиданий).
.
Следствие 1. Свойство 4 можно распространить на любое конечное число слагаемых. Доказательство аналогично линейному свойству математического ожидания.
Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины:
(12.5.3)
5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
(12.5.4)
Доказательство. По свойствам 4 и 3
|
|
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!