История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-12-13 | 312 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. для любого х Î(-¥; +¥).
Доказательство. По определению По свойству 2 функции распределения F (x)неубывающая
2. Вероятность попадания возможного значения случайной величины Х в заданный промежуток
Р (a£ X<b) = . (10.1.2)
Замечание. Из свойства 7 функции распределения (формула (9.2.8)) следует, что для непрерывной случайной величины Х вероятность попадания в произвольный интервал (угловые скобки означают, что концы интервала могут входить или не входить в интервал) находится из соотношения
.
3. (10.1.4)
Доказательство. Положим в равенстве (10.1.2) a=- ¥, b=+ ¥. Тогда
С другой стороны, -¥< C <+¥ есть достоверное событие, следовательно
Р (-¥< C <+¥)=1.
Сравнивая правые части этих равенств, получим (10.1.4).
Рис. 10.1.2 Рис. 10.1.3 |
Геометрически равенство (10.1.4) означает, что площадь всего подграфика от -¥ до +¥ равна 1 (рис. 10.1.2).
Замечание. Равенство (10.1.4) является необходимым и достаточным условием того, чтобы неотрицательная функция f (x) являлась плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины.
Следствие. Если плотность сосредоточена на промежутке , т.е. вне промежутка f (x) = 0 (рис. 10.1.3), то
(10.1.5)
В данном случае площадь подграфика от а до b равна 1.
Вероятностный смысл плотности распределения.
Физический аналог плотности
Найдём вероятность попадания возможного значения непрерывной случайной величины в малый интервал D х=х-х 0. По формуле (9.2.7) (свойство 5 функции распределения)
(10.2.1)
Разделим обе части этого равенства на D х:
Левая часть этой формулы представляет собой долю вероятности , соответствующую единице измерения длины отрезка D х, т.е. плотность этой вероятности на D х, или «удельную», «погонную» вероятность.
|
С другой стороны, из курса дифференциального исчисления известно, что
А это по определению и есть плотность вероятности (в точке ).
Таким образом, плотность можно интерпретировать как вероятность попадания возможного значения случайной величины в бесконечно малый промежуток, делённую на длину этого промежутка.
Проведём более строгие рассуждения. Рассмотрим равенство (10.2.1). По теореме Лагранжа
,
где .
При достаточно малом D х ,
.
Запишем этот результат для любой точки х, учитывая, что D х = dx:
.
Таким образом, для элементарных отрезков длиной dx произведение f (x) dx - это вероятность попадания случайной величины на отрезок dx. Эта вероятность равна площади полоски шириной dx и высотой f (x)(рис. 10.2.6), Рис. 10.2.6
а точнее, .
Если проинтегрируем эту полоску по любому промежутку , то получим вероятность попадания в этот промежуток (свойство 2 плотности). При интегрировании по всей числовой оси получим единицу (свойство 3).
Замечание. Во всех расчётах с непрерывными случайными величинами дифференциал вероятности f (x) dx, равный играет ту же роль, какую играют вероятности pi при расчётах с дискретными случайными величинами. Чтобы от формулы для дискретных величин перейти к формуле для непрерывных величин, во многих формулах достаточно будет заменить pi на f (x) dx и сумму – соответствующим интегралом.
Физическая аналогия плотности распределения – линейная плотность распределения вещества по линии. Известно, что размерность линейной плотности равна кг/м. Пусть имеется бесконечная прямая или отрезок прямой, масса которого равна единице. Из физики известно, что в каждой точке этой прямой плотность вещества определяется следующим образом:
Масса отрезка длиной равна
.
Просматривается аналогия между массой и функцией распределения вероятности, между линейной плотностью вещества и плотностью вероятности.
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!