Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2018-01-29 | 470 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Две функции f и g называются ортогональными на отрезке [a, b], если
Если f(x) ≡ 0, то это равенство выполняется для каждой функции g(x). Другими словами, функция f(x) ≡ 0 ортогональна ко всем функциям g(x). В силу известного неравенства Буняковского для интегралов
из условия
следует, что
Следовательно, функция f, для которой
играет роль нулевой функции f(x) ≡ 0. Поэтому такая функция тоже считается нулевой. В противном случае, когда
функция f по определению считается ненулевой. Очевидно, что нулевая функция не является единственной. Действительно, если изменить значение функции в одной точке, то по-прежнему будем иметь, что
Система ненулевых функций {φ0, φ1, φ2,...} (конечная или бесконечная) называется ортогональной на отрезке [a, b], если на этом отрезке ортогональны любые две функции этой системы, то есть
Если интеграл
то функция f называется нормированной на [a, b].
Если все функции ортогональной системы {ψi} нормированы, то такая система { ψi } называется ортонормированной, то есть
Тригонометрический ряд и ряд Фурье функции
Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида
где действительные числа а0, аn, bn (n=1,2…) называются коэффициентами ряда, где ряд с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции f(x).
Теорема Дирихле о достаточных условиях разложения функции в ряд Фурье
Пусть 2 -периодичсекая функция f(x) на отрезке[- ] удовлетворяет двум условиям:
1. f(x) кусочно-непрерывна, то есть непрерывна или имеет конечное число разрывов I рода;
2. f(x) кусочно-монотонна, то есть монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна.
|
Тогда соответствующий функции f(x) ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:
1. В точках непрерывности функции сумма ряда S(x) совпадает с самой функцией: f(x)=S(x);
2. В каждой точке х0 разрыва функции сумма ряда равна
то есть равна среднему арифметическому пределов функции f(x) справа и слева;
3. В точках х=-π и х=π (на концах отрезка) сумма ряда равна
Разложение в ряд Фурье 2 -периодических функций
Пусть функция f (x) имеет период 2 π и раскладывается в ряд Фурье:
Вычислить коэффициенты a 0, an и bn.
Решение:
Чтобы найти an, проинтегрируем ряд Фурье в интервале [ −π, π ]:
Для всех n > 0 справедливо
Поэтому, все члены в разложении Фурье справа от знака суммы равны нулю, что приводит к соотношению
Чтобы определить коэффициенты an при m > 0, умножим обе части разложения в ряд Фурье на cos mx и проинтегрируем почленно:
Первое слагаемое в правой части равно нулю. Тогда, используя тригонометрические тождества, можно записать
если m≠n.
В случае, если m = n, получаем
Таким образом,
Аналогично, умножая ряд Фурье на sin mx и интегрируя почленно, получим выражение для bm:
Переписывая формулы для an, bn, запишем окончательные выражения для коэффициентов Фурье:
|
|
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!