Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-12-12 | 346 |
5.00
из
|
Заказать работу |
5. Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то существует точка с Î [a.;b] такая, что
6. Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке [а; b], где а <b, то интеграл имеет тот же знак, что и функция. Так, если на отрезке [а; b], то .
7. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [а;b],(а < b) можно интегрировать. Отметим, что дифференцировать неравенства нельзя.
8. Оценка интеграла. Если m и M — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции у = f(x) на отрезке [а;b], (а < b), то
.
9. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:
где a<b.
10. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Рассмотрим интеграл . Значение интеграла зависит от обоих пределов интегрирования a и b.
Теорема. Производная от интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, то есть
. Данная теорема означает, что функция является первообразной для . Из этой теоремы следует, что всякая непрерывная функция имеет первообразные, одной из которых является интеграл .
Формула Ньютона – Лейбница.
Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла от непрерывной функции является формула Ньютона-Лейбница:
.
Применяется этот метод во всех случаях, когда может быть найдена первообразная функции F(x) для подынтегральной функции .
Методы вычислений определенного интеграла: непосредственное интегрирование; интегрирование подстановкой; интегрирование по частям.
Интегрирование по частям
Теорема. Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке , то имеет место формула
(5.3.1) |
Формула (2) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла
Интегрирование методом подстановки
Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции f(x) сделана подстановка .
Теорема. Если:
1. Функция и ее производная непрерывны при
2. Множеством значений функции при является отрезок
3. и ,
то
. | (2.5.1) |
Формула (5.2.1) называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Отметим, что: 1. При вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется; 2. Часто вместо подстановки применяют подстановку t = g(x);
Непосредственное интегрирование представляет собой метод, основанный на свойствах интеграла.
Приложение определенного интеграла: формулы площадей плоских фигур, длины кривой, объема ткл вращения.
Площади фигур в декартовой системе координат
Площадь фигуры, ограниченной кривыми и , прямыми х = а и х = b (при ) можно найти по формуле .
Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то прямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы.
Если криволинейная трапеция ограничена прямыми у = с и у = d, осью Оу и непрерывной кривой , то ее площадь находится по формуле .
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!