Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2017-10-01 | 285 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
При исследовании функционала (2.1) на экстремум предположим, что одна или обе граничные точки могут перемещаться по заданным кривым и . Эта задача называется задачей с подвижными границами. В этом случае класс допустимых кривых расширяется. Поэтому если на кривой достигается экстремум в задаче с подвижными границами, то экстремум тем более достигается по отношению к более узкому классу кривых, имеющих общие граничные точки с кривой . Следовательно, функция должна быть решением уравнения Эйлера, и все кривые , на которых реализуется экстремум в задаче с подвижными концами, должны быть экстремалями.
Общее решение уравнения Эйлера содержит две произвольные постоянные, для определения которых необходимо иметь два условия. В задаче с закрепленными концами такими условиями были и . В задаче с подвижными границами одно или оба эти условия отсутствуют. Недостающие условия для определения произвольных постоянных должны быть получены из основного необходимого условия экстремума - равенства нулю вариации .
Рис.2.5. Задача с подвижными концами |
,
определенного на кривых, концы которых могут перемещаться по линиям и (рис. 2.5).
Искомые кривые (экстремали) должны удовлетворять уравнению Эйлера, поэтому в выражении для вариации функционала остается только внеинтегральный член. Учитывая, что
,
,
где и - бесконечно малые величины, имеем
.
Вариации независимой переменной и не равны нулю, поэтому выражения , должны обращаться в нуль:
, (2.13)
. (2.14)
Эти граничные условия называются условиями трансверсальности. Про искомую экстремаль говорят, что она трансверсальна кривым и . Условия трансверсальности позволяют определить две постоянные интегрирования после решения уравнения Эйлера.
|
Изопериметрическая задача
Изопериметрическими задачами в узком смысле этого слова называются задачи об отыскании геометрической фигуры максимальной площади при заданном периметре.
В настоящее время изопериметрическими задачами называется значительно более широкий класс задач, а именно, все вариационные задачи, в которых требуется определить экстремум функционала
,
при наличии так называемых изопериметрических условий
,
где - постоянные, а может быть больше, меньше или равно .
Рассмотрим следующую изопериметрическую задачу.
Среди всех кривых , удовлетворяющих условиям , , на которых функционал
,
найти такую, которая дает экстремум функционалу
.
Пусть и имеют непрерывные производные на отрезке . Предположим, что искомая кривая не является экстремалью , тогда имеет место теорема [1].
Теорема. Если кривая обеспечивает экстремум функционала и удовлетворяет условиям , , , но не является экстремалью , то существует такое число , что является экстремалью функционала
. (2.15)
Этот результат используется следующим образом. Составляется уравнение Эйлера для функционала . Получается дифференциальное уравнение второго порядка и находится его общее решение, которое содержит параметр и две произвольные постоянные. Эти три величины определяются из граничных условий и условия .
|
|
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!