Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-06-29 | 282 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Функция называется дифференцируемой в данной точке, если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде: , где А1, А2, …, Аm – некоторые не зависящие от ∆х1, ∆х2, …, ∆хm числа, а α1, α2, …, αm – бесконечно малые при функции, равные 0 при ∆х1=∆х2=…∆хm=0.
Частная производная функции z=f(x,y) по х – предел отношения частного приращения функции по х к приращению Δх при Δх→0, если он существует и конечен:
Частная производная функции z=f(x,y) по y- – предел отношения частного приращения функции по y к приращению Δy при Δy→0, если он существует и конечен:
Полный дифференциал функции z=f(x,y) - главная линейная относительно и ∆у часть приращения функции ∆z в точке (х,у): dz= fx(x,y)dx+ fy (x,y)dy
Если функция f(x,y) определена в некоторой области D, то её частные производные f ’x(x,y), f ’y(x,y), тоже будут определены в той же области или её части. Будем называть эти производные производными I-ого порядка. Производные этих функций производными II-ого порядка.
Необх. и дост. условие дифференцируемости
Напомним, что функция одной переменной называется дифференцируемой в точке , если приращение функции представимо в виде
,
где ― некоторое действительное число, зависящее от , а -бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем , при .
Необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке является существование производной
.
Выясним, как переносятся условия дифференцируемости на случай функции двух переменных.
Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
,(1)
Дифференцирование сложной ф-ции
|
Пусть задана функция двух переменных и пусть переменные и сами являются непрерывными функциями независимых переменных и : , . (*)
Таким образом,
,
т.е. является сложной функцией переменных и . Выясним, как найти ее частные производные по аргументам и , не делая непосредственной подстановки. При этом будем предполагать, что все рассматриваемые функции имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам. Сначала найдем производную . Для этого дадим аргументу приращение , сохраняя значение неизменным. Тогда в силу уравнений (*) получат приращения и .
Но если и получают приращения и , то функция получит приращение , определяемое формулой:
.
Разделим обе части последнего равенства на :
.
Если , то и (в силу непрерывности функций и ). Но тогда и тоже стремятся к нулю. Переходя к пределу при , получим
, , ,
и, следовательно,
. (1)
Аналогично находим производную по переменной :
. (2)
Вывод. Частная производная сложной функции равна сумме произведений частных производных заданной функции по промежуточным аргументам ( и ) на частные производные этих аргументов ( и ) по соответствующей независимой переменной ( и ), где и — некоторые постоянные, зависящие от и ; и — функции от и , стремящиеся к нулю при и , то есть , .
Равенство (1) выражает условие дифференцируемости функции в точке .
Определение. Функцию , дифференцируемую в каждой точке некоторого множества, называют дифференцируемой на этом множестве.
Инвариантность формы 1-ого диф-ла
Если xi(t) непрерывно диф-ма на t= t0(t01+ t02 +…+ t0m), а y=f(x); x=(x1,x2,…xn) непрерыв.. диф-ма в т. x0=(x01,x02,…x0n), xoi (to), то ф-ция y=f(x(t)) диф-ма в точке tо и справедливо равенство
|
|
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!