История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2017-06-19 | 242 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Частные производные.
Задача 1. Найти частные производные от функций:
а) .
Решение. Частную производную находим как производную функции по аргументу в предположении, что . Поэтому,
Аналогично,
б)
в)
г)
Пример 2
. Показать, что .
Пример 3
. Показать, что .
Производная сложной функции. Производная неявной функции
Задача 1. Продифференцировать сложную функцию:
а)
Решение. Так как и зависят от переменных и , то функция в конечном итоге зависит от переменных и , и ее частные производные можно найти по формулам:
Следовательно,
б) Найти
Решение. Так как функция в конечном итоге зависит от одной переменной , то ее производную можно найти по формуле:
Тогда,
Экстремум функции
Дана функция .
а) исследовать функцию на экстремум;
Решение. а) Найдем стационарные точки функции из системы уравнений: Следовательно,
Точка - стационарная точка функции. Вычислим значения частных производных второго порядка в точке .
Составим дискриминант . Так как , то экстремум есть, так как , то - точка минимума.
Наименьшее и наибольшее значение функции в замкнутой области
Задание 1 Дана функция .
найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области , заданной системой неравенств , сделать чертеж области.
Решение. а) Найдем стационарные точки функции из системы уравнений: Следовательно,
Точка - стационарная точка функции. Вычислим значения частных производных второго порядка в точке .
Составим дискриминант . Так как , то экстремум есть, так как , то - точка минимума.
б) Построим область , заданную системой неравенств .
Это треугольник с вершинами в точках О(0;0), А(-3;0), В(0;-3).
|
Наибольшее и наименьшее значения в замкнутой области функция может достигать в стационарных точках, принадлежащих области и на границе области. Поэтому:
Вычислим значение функции в стационарной точке , принадлежащей области : .
Вычислим значения функции в точках О(0;0), А(-3;0), В(0;-3), которые являются точками «стыковки» различных участков границы области.
Вычислим значения функции в критических точках на границе области.
I участок:
- критическая точка, принадлежащая [-3;0].
II участок:
- критическая точка, принадлежащая [-3;0].
III участок:
- критическая точка, принадлежащая [-3;0].
Из всех вычисленных значений выберем наибольшее и наименьшее: в точках , -1 в точке .
Задание 2 Дана функция , точка и вектор .
Найти производную по направлению вектора в точке и .
Решение: Найдем направляющие косинусы вектора :
.
Далее находим значения частных производных от функции в точке :
Наконец, вычисляем производную по направлению в точке и градиент:
,
.
Задание 3. Дана функция , точка и вектор . Найти: производную по направлению вектора в точке ; в этой точке.
Решение.
1.Для решение задачи воспользуемся формулой для нахождения производной от функции в заданной точке по направлению вектора :
,
где , - направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам: , .
По условиям задачи вектор имеет координаты , . Тогда его длина равна: .
Следовательно, для направляющих косинусов вектора получим следующие значения: , .
Для решения задачи необходимо найти все частные производные первого порядка от функции :
Вычислим значения этих частных производных первого порядка в точке
В заключении подставим полученные значения для направляющих косинусов вектора и значения частных производных первого порядка от функции z в точке в формулу производной по направлению в заданной точке:
2.
|
|
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!