Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-06-12 | 510 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теорема 27 Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке . Тогда тело, которое образуется вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , имеет объем
. (28)
□ Рассмотрим разбиение отрезка на частей точками . На каждом частичном отрезке возьмем точки и построим прямоугольник MNPQ (рис. 10). При вращении вокруг оси каждый прямоугольник опишет цилиндр.
Найдем объем цилиндра, образованного вращением прямоугольника :
, где .
Сумма объемов всех цилиндров приближенно равна объему данного тела вращения:
.
С другой стороны, эта сумма является интегральной суммой для интеграла (28). Так как функция непрерывна на , то предел этой суммы при существует и равен определенному интегралу (28). Таким образом,
. ■
Примеры. 1) Найти объем тела, полученного вращением эллипса вокруг оси Оу.
Решение. .
2) Вычислить объем тора. Тором называется тело, получающееся при вращении круга радиуса вокруг оси, лежащей в его плоскости на расстоянии от центра круга . Форму тора имеет, например, баранка.
Решение. Пусть круг вращается вокруг оси (рис. 11). Объем тора можно представить как разность объемов тел, полученных от вращения криволинейных трапеций и вокруг оси .
Уравнение окружности имеет вид: ,
причем уравнение кривой
,
а уравнение кривой
,
Используя формулу (27), получаем для объема тора выражение
.
Теорема 28 Пусть функция неотрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной на отрезке . Тогда поверхность, образованная вращением графика этой функции вокруг оси , имеет площадь, которая может быть вычислена по формуле
. (29)
□ Разобьем произвольный отрезок на частей точками .Пусть , , ,…, , ,…, – соответствующие точки графика функции . Построим ломанную , , ,…, (рис. 12). При вращении этой ломанной вокруг оси получим поверхность, составленную из боковых поверхностей усеченных конусов (цилиндров). Площадь боковой поверхности усеченного конуса (цилиндра), образованного вращением звена ломаной, равна – длина хорды , , т.е.
|
.
По формуле Лагранжа имеем:
.
Полагая , получаем
.
Итак, площадь поверхности вращения приближенно равна площади поверхности, полученной от вращения ломанной
.
Представим эту сумму в виде двух сумм
Первая сумма в правой части последнего равенства является интегральной суммой для интеграла (29), и при в силу непрерывности функции имеет своим пределом этот интеграл. Покажем, что выражение в фигурных скобках в правой части равенства имеет при предел, равный нулю. Действительно, так как функция равномерно-непрерывна на , то по теореме Кантора для любого существует такое, что при выполняются неравенства и . Если обозначить через максимальное значение функции на отрезке , то выражение в фигурных скобках при оценивается следующим образом:
.
Так как произвольно мало, то отсюда следует, что предел указанного выражения равен нулю при .
Таким образом, переходя в равенстве к пределу при , имеем , т.е. получена искомая формула (29). ■
Замечание. Если поверхность получена вращением вокруг оси кривой , заданной параметрическими уравнениями , , , причем , а функция изменяется от до при изменении параметра от до , причем , , то, производя в формуле (29) замену переменной , получаем
. (30)
Наконец, если кривая задана уравнением в полярных координатах: , , где имеет непрерывную производную на , то этот случай сводится к параметрическому заданию кривой , , , и формула (30) принимает вид
.
Примеры. 1) Вычислить площадь поверхности шарового пояса, образованного вращением полуокружности , , вокруг оси .
Решение. По формуле (29) получаем
,
где – высота пояса.
|
2) Вычислить площадь поверхности, полученной вращением одной арки циклоиды , , , вокруг оси
Решение. По формуле (30) имеем
Несобственные интегралы
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!