Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2023-02-03 | 31 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Разберем идею разностного метода решения .краевых задач на примере взаимодействия световых пучков (см. рис. 12.1), переобозначив в системе(12.1-1) интенсивность излучения вправо на Y, а интенсивность излучения влево на у (просто в целях удобства, чтобы не писать индекс).
рис 12.1
Суть метода заключается в покрытии расчетного интервала сеткой из N точек. Тем самым определяются (N-i) шагов (рис. 12.7). Затем надо заменить дифференциальные уравнения исходной краевой задачи аппроксимирующими их уравнениями в конечных разностях, выписав соответствующие разностные уравнения для каждого 1-го шага. В нашем случае достаточно просто заменить первые производные из (12.1-1) их разностными аналогами (такой метод называется еще методом Эйлера):
Рис. 12.7. Сетка, покрывающая расчетный интервал
Примечание
Существует множество способов аппроксимации дифференциальных уравнений разностными. От выбора конкретного варианта зависит не только простота, быстрота и удобство вычислений, но и сама возможность получения правильного ответа.
Получилась система (по числу шагов) 2-(м-1) разностных линейных алгебраических уравнений с 2-N неизвестными YI и yi. Для того чтобы она имела единственное решение, надо дополнить число уравнений до 2-м. Это можно сделать, записав в разностном виде оба граничных условия:
Y0=1O, yN=R-YN.
Сформированная полная система алгебраических уравнений называется разностной схемой, аппроксимирующей исходную краевую задачу. Обратите внимание, что правые части разностных уравнений системы на каждом шаге записаны для левой границы шага. Такие разностные схемы называют явными, т. к. все значения YI+I и yi+i находятся в левой части уравнений. Полученную явную разностную схему легко записать в матричной форме
|
A.Z=B,
где z - неизвестный вектор, получающийся объединением векторов Y и у. Решив систему (3), мы получим решение краевой задачи.
Примечание
На самом деле, все несколько сложнее, поскольку, вообще говоря, необходимо еще доказать, что, во-первых, разностная схема действительно аппроксимирует дифференциальные уравнения и, во-вторых, при м-*» разностное решение действительно сходится к дифференциальному.
22. Устойчивые и асимптотически устойчивые решения разностных уравнений
Рассмотрим дифференциальное уравнение
Пусть некоторое фиксированное решение y = φ(x) этого уравнения существует при всех x≥ x0 .
Решение y = φ(x) уравнения называется устойчивым по Ляпунову при x ≥ x0 , если для любого ε > 0 существует число δ > 0 (зависящее, вообще говоря, от ε ) такое, что:
— решение y = y(x) задачи Коши с начальным условием y(x0 ) , |y(x0) − φ(x0) | < δ , существует при всех x ≥ x0 ;
— для всех таких решений справедливо неравенство |y(x) − φ(x) | < ε , при всех x > x0 .
Геометрически это означает, что интегральные кривые y = y(x), близкие в момент x = x0 к интегральной кривой y = φ(x), остаются близкими к ней и на всем промежутке [x0, ∞) .
На рисунке красным изображено устойчивое решение задачи Коши y' = − y, y(1) = 1.
Видно, что все интегральные кривые, близкие к этому решению в начальный момент x = 1, остаются вблизи него и при x > 1 .
Решение y = φ(x) называется неустойчивым по Ляпунову при x ≥ x0 , если существует число ε > 0 такое, что для любого δ > 0
найдутся решения y = yδ(x) и значение x1 = x1(δ) > x0 такие, что хотя | yδ( x0) − φ( x0) | < δ , но |y( x1) − φ( x1) | ≥ ε .
На рисунке красным изображено неустойчивое решение y = 0 задачи Коши y' = sin2 y, y(0) = 0.
Видно, что интегральные кривые, близкие к y = 0 в начальный момент x0 = 0, удаляются от y = 0 с ростом x > 1 .
|
2f(n+2)-2f(n+1)+f(n)=0
2л^2-2л+1=0
D= - 4
л(1)=(2+2i)/4=(1+i)/2
л(2)=(2-2i)/4=(1-i)/2
y=(e)^0.5x*(C1*cos0.5x+C2*sin0.5x)
(0.5)^n*(C1*cos(n*pi)/4+C2*sin(n*pi)/4)
л=a+ib
л=sqr(a*a+b*b)>=1
1) Если л1 и л2 <1, то решение устойчиво
2) Если л1 и л2 >1, то решение неустойчиво
3) Если л1 и л2 =1, то решение устойчиво (но не ассимптотически)
4) Если хотя бы одно л>1, то неустойчиво
Размещено на Allbest.ru
|
|
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!