История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2022-10-11 | 34 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
P (x, y) dx + Q (x, y) dy =0 называетс я уравнением в полных дифференциалах, если выполняется равенство
Очевидно, что если P(x,y)dx + Q(x,y)dy = d[ u(x,y)], то Укажем простой способ восстановления функции по полному дифференциалу. Проинтегрируем слагаемые правой части уравнения по своей переменной, считая вторую константной:
Здесь f(y) и φ(x) произвольные постоянные, зависящие от противоположных переменных интегрирования. Теперь, выбирая одну из функций или и добавляя из другой.те функции которых нет в первой, получим восстановленную функцию u(x,y). Приравнивая полученную функцию произвольной постоянной, получаем решение уравнения.
Пример 5.1. (x + y +1)dx + (x – y2 + 3)dy = 0.
Убедимся, что правая часть является полным дифференциалом - Проинтегрируем слагаемые уравнения - Выбираем первообразную первого интеграла - и к ней добавляем функции первообразной второго интеграла, которых нет в первой первообразной. Таким образом получаем решение
Лекция 4.
Заключение. Основная трудность при решении дифференциальных уравнений первого порядка заключается в определении типа уравнения. Для этого дифференциальное уравнение необходимо, разрешая его относительно производной
y’ = и произведя необходимые преобразования, привести к виду y’ = f(x,y). Тогда, если
1. y’ = f(x)·φ(y), то это уравнение с разделяющимися переменными;
2. y’ = f(y/x), то это однородное дифференциальное уравнение;
3. y’ = f(x)y + q(x), то это уравнение линейное;
4. y’ = f(x)y + q(x)yn, то это уравнение Бернулли;
5. то следует проверить условие причем, если перед дробью стоит знак минус, то одну из функций надо брать со знаком минус. Если равенство выполняется, то уравнение в полных дифференциалах.
|
Пример 5.2. Определить тип дифференциального уравнения.
1.(2xy- 1)dx + (x2 – 1)dy = 0; 2.(y2 + x2)dy + (2xy – y2)dx = 0; 3.(y+y·ex)dy=exdx; 4. y’ – y + y2Cosx = 0; 5. .
Решение. 1..(2xy- 1)dx + (x2 – 1)dy = 0 →(x2 – 1)dy = - (2xy- 1)dx→ Так как правая часть состоит из 2-х слагаемых, одно из которых содержит функцию в первой степени, а второе зависит только от аргумента, т.еy’ = p(x)y+q(x),то это линейное уравнение.
2. (y2 + x2)dy + (2xy – y2)dx = 0→(y2 + x2)dy = - (2xy – y2)dx→ Нетрудно видеть, что правая часть есть функция, зависящая от отношения переменных, т.е. y’ = f(y/x). Это уравнение однородное.
3. (y+y·ex)·dy=ex·dx; → Правая часть приведены к произведению 2-х функций, каждая из которых зависит лишь от одной переменной, т.е. y’= f(x)·φ(y). Следовательно это уравнение с разделяющимися переменными.
4. y’ – y + y2Cosx = 0 → y’ = y - y2Cosx. Правая часть сумма двух слагаемых: в одно функция входит линейно (в первой степени), во второе – в степени. Имеем уравнение Бернулли y’ = p(x)y - yn·f(x).
5.
. Анализируя правую часть уравнения, можно заметить, что правую часть не представляется возможным представить в виде f(x)·φ(y) или f(y/x) и, следовательно, дифференциальное уравнение не может быть однородным или с разделяющимися переменными. Преобразуем правую часть, выделив линейную функцию Теперь видно, что правая часть есть сумма двух слагаемых: в одно функция входит линейно (в первой степени), во второе – в степени -1. Это дифференциальное уравнения Бернулли. С другой стороны, нетрудно убедиться, что выполняется условие полного дифференциала: Так как процесс восстановления функции по полному дифференциалу более простой применяем его для отыскания решения. Найдем решение восстановив функцию.
Таким образом, получаем решение или 3ln(x2+y2)+2x3=C.
|
|
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!