История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2022-02-11 | 46 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Задача [Эрмит]. Построить полином , имеющий заданные значения своих производных в узлах интерполяции :
При узел называется простым узлом интерполяции, при узел называется кратным узлом.
Для случая вещественной интерполяционной таблицы () задаче можно придать следующую геометрическую интерпретацию: требуется провести алгебраическую кривую через заданные точки так, чтобы в каждой точке обеспечить заданные наклоны касательных (а также, возможно, кривизны и т.п.).
§
Интерполяционный полином Эрмита используется в задаче разложения дробно-рациональной функции на простейшие дроби. Сам Эрмит применял его для оценки величины определенного интеграла по значениям функции и ее производных на концах интервала. Еще одно приложение — в задаче вычисления функции от матрицы.
Интерполяционная таблица дает условий на коэффициенты неизвестного полинома. По аналогии со стандартной задачей интерполяции, можно ожидать, что искомый полином будет существовать среди полиномов степени . Будем искать этот полином методом неопределенных коэффициентов. Обозначим
Пусть — произвольный полином степени . Разложим дробь на сумму простейших над множеством :
Определим числители дробей с помощью интерполяционных данных. Домножим обе части тождества на , получим:
здесь через обозначена дробно-рациональная функция по , знаменатель которой не обращается в нуль при . Подставим это значение в обе части последнего равенства:
Теперь продифференцируем последнее тождество по , подставим и воспользуемся данными интерполяционной таблицы:
Снова продифференцируем по и т.д. В результате получаем:
Аналогично поступаем и с другими узлами интерполяции. В результате, получаем решение задачи в виде интерполяционного полинома Эрмита:
В литературе имеется неоднозначность терминологии — этот же полином называется и интерполяционным полиномом Лагранжа-Сильвестра, и интерполяционным полиномом Серре.
Теорема. Подмножество всевозможных полиномов из , принимающих значения по таблице, можно представить в виде
здесь — интерполяционный полином Эрмита.
Интерполяционный полином Эрмита является естественным обобщением обычного интерполяционного полинома в форме Лагранжа () и формулы Тейлора ().
Можно указать и явное представление для этого полинома — с использованием формализма определителей. На основании правила дифференцирования дробно-рациональной функции, получаем:
Здесь — биномиальный коэффициент. Еще один подход к построению полинома см. ☞ [8].
П
Пример. Построить интерполяционный полином по таблице
Решение. Здесь
Для имеем и в формуле Эрмита этому узлу соответствует одно слагаемое:
Для имеем и этому узлу соответствует полином
значения которого — вместе с первой и второй производной — в точке должны совпадать с табличными:
Для имеем :
и для определения четырех коэффициентов этого полинома мы имеем четыре условия из таблицы:
Этот же результат можно получить и в виде альтернативного — детерминантного — представления:
и
Наконец, для имеем :
Ответ. .
Построить уравнение «горки»: найти полином из условий .
Следующий результат не очень связан с содержанием настоящего пункта, но надо было куда-то поместить.
Теорема [1]. При заданных существуют а) полином
(т.е. ) и б) числа такие, что
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!