Начало синхронизации: статистическая теория

315

Эта зависимость показателя κ отпоперечногопоказателяЛяпуновапоказанана

Рис. 13.4b. Прежде чем обсуждать это соотношение, мы продемонстрируем на рис. 13.5 справедливость

Степенной анзац (13.22).

0

–Ln (1 – a) – λ

–Ln (а) – λ

Λ

0

ln (1 - а)

ln (а)

s (Λ)

ln (1 – a) + λ

ln (а) + λ

0

λ ⊥

–20

–10

0

10

20

κ

а)

(б)

Рисунок 13.4. Функция масштабирования, описывающая флуктуации конечного времени

Показатели Ляпунова (а) и показатель κ взависимостиотпоперечногопоказателяЛяпунова

(б) для карты косой палатки. Отметим, что согласно (13.14) λ ⊥ = ln | 1 - 2 ε | + λ.

–40

–30

–20

–10

0

z

10

0

10

2

10

4

10

6

W (z)

z

Мин

z

Максимум

Рисунок 13.5. Экспоненциальные распределения переменной z (соответствующие

степенные распределения w) для связанных карт косых тентов, как на рис. 13.3, для трех

значения связи: критическая связь ε = ε c (квадраты); соединение больше критического

ε = ε c + 0,025 (ромбики); связь меньше критической ε = ε c - 0,025 (кружки).

Дополнительное рассогласование параметров a ± 10 − 10 было введено для обеспечения

нижняя отсечка z мин. В области z min < z < z max распределения с хорошей точностью

Точность, экспоненциальная, в соответствии с анзацем (13.22).

Стр. Решебника 338

316

Полная синхронизация I

Из рис. 13.4 видно, что нетривиальное степенное решение существует только в

Некоторая окрестность точки перехода синхронизации. Это связано с тем, что

Масштабирующая функция s () имеет конечный носитель

- ln a - λ ≤

≤ ln (1 - a) - λ.

(13.31)

Эта конечность является общим свойством динамических систем и нарушается в

Параболическое приближение для s. Действительно, параболическое приближение s означает

Гауссовское приближение для распределения конечных показателей Ляпунова.

Распределение Гаусса имеет бесконечно протяженные хвосты, которые соответствуют произвольным

Низкие темпы расширения / сокращения на местном уровне. И наоборот, линейный анализ возмущений

Для траекторий динамической системы приводит к уравнениям с конечными коэффициентами, так что

В реальных динамических системах конечные показатели Ляпунова не могут быть произвольно

Большой.

Согласно конечности показателей Ляпунова за конечное время, зависимость

Следовательно, κ на λ ⊥ определена только в интервале (13.31). Как легко видеть,

Минимальное и максимальное значения конечного показателя времени

Соответствуют

Минимальная и максимальная скорость локального расширения: для карты палатки это

- ln (1 - a) и - ln a. В области (13.31) поперечная динамика нетривиальна при

Некоторые траектории трансверсально устойчивы, а некоторые - неустойчивы. За пределами этого интервала

Все траектории либо устойчивы, либо неустойчивы, и степенные хвосты распределения

Не существуют (в случае случайного блуждания все шаги имеют одинаковый знак). Мы будем

Обсудим эту ситуацию еще раз в Разделе 13.4.

Модуляционная перемежаемость: корреляционные свойства

Процесс около порога полной синхронизации очень прерывистый: он

выглядит как последовательность всплесков, разделенных длинными безмолвными эпохами (рис. 13.3). У нас есть

Уже дано качественное объяснение этой модуляционной перемежаемости: в то время как

Логарифм возмущения выполняет случайное блуждание, только максимумы логарифма

Появляются как относительно острые пики.

Аналогия со случайным блужданием также может быть использована для количественного описания

Временные корреляционные свойства модуляционной перемежаемости. С этой целью мы моделируем

Случайное блуждание переменной z в дискретном времени с непрерывным процессом диффузии

со средним дрейфом А, ⊥ и коэффициент диффузии D. Обратите внимание, что средний дрейф зависит от

Константа связи, в то время как диффузия определяется свойствами симметричного

Только хаотическое отображение. Такой процесс можно описать с помощью метода Фоккера – Планка.

уравнение (см., например, [Feller 1974]):

∂ W (z, t)

∂ т

= −λ ⊥

∂ W (z, t)

∂ z

+

D

2

∂ 2 W (z, t)

∂ z 2

.

(13.32)

Это уравнение следует дополнить граничными условиями. Поскольку у нас есть

Как было сказано выше, как нелинейное насыщение, так и шум / неоднородность можно смоделировать с помощью

Отражающие граничные условия при z max и z min соответственно.

Стр. Решебника 339

Начало синхронизации: статистическая теория

317

Определим теперь статистику временных интервалов между всплесками в

модуляционная перемежаемость немного ниже порога синхронизации, ε < ε c. Здесь

Достаточно ввести только отражающую границу при z max. Всплеск наблюдается, если