Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2021-03-18 | 134 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Мы уже говорили о том, что в каждом базисе линейного пространства квадратичная форма задается однородным многочленом второй степени, который называется видом данной квадратичной формы.
Каноническим видом квадратичной формы называется такой ее вид, в котором коэффициенты при произведениях разноименных переменных равны 0, т. е. при .
Нормальным видом действительной квадратичной формы называется такой ее канонический вид, в котором отличные от нуля коэффициенты при квадратах равны 1 или –1. Все отличные от нуля коэффициенты при квадратах нормального вида комплексной квадратичной формы равны 1.
Теорема 5.6. Для любой квадратичной формы, заданной на линейном пространстве в существует базис, в котором эта квадратичная форма имеет канонический вид, и существует базис, в котором она имеет нормальный вид.
Или другая формулировка этой же теоремы:
Для любой квадратичной формы от n переменных существует линейное невырожденное преобразование переменных, приводящее ее к каноническому виду, и существует линейное невырожденное преобразование переменных, приводящее ее к нормальному виду.
Теорему 5.6 мы докажем позже, а сейчас на примере покажем, как привести квадратичную форму к каноническому виду методом, который называется методом Лагранжа или выделения полных квадратов. Он заключается в следующем: выбираем переменную, коэффициент при квадрате которой отличен от 0, и выделяем полный квадрат, включающий в себя все слагаемые с этой переменной. С этой целью записываем перед скобкой число, обратное выбранному коэффициенту, а в скобках – половину производной по выбранной переменной. За скобками остается квадратичная форма, количество переменных которой уже на единицу меньше, с которой поступаем также. После конечного числа шагов получаем канонический вид.
|
Пример. ▼
где . Матрица этого линейного преобразования запишется так:
.
Как видим, она невырождена, значит, и преобразование переменных является невырожденным. Вводя обозначения
,
получаем нормальный вид квадратичной формы: .▲
Замечания. 1. На самом деле при применении метода Лагранжа получаем не прямое преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, а обратное, т. е. преобразование, которое выражает не старые переменные через новые, а наоборот.
2. Если все коэффициенты при квадратах исходной квадратичной формы равны нулю, а отличен от нуля, например, коэффициент при произведении , применим вначале следующее преобразование: Матрица этого преобразования выглядит так:
.
Очевидно, она невырождена, и поэтому, соответствующее преобразование переменных также будет невырожденным.
Заметим, что канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно, тем не менее, имеет место
Теорема 5. 7 (закон инерции). Все канонические виды одной квадратичной формы на действительном линейном пространстве имеют одинаковое число положительных коэффициентов и одинаковое число отрицательных коэффициентов. Нормальный вид квадратичной формы определяется однозначно с точностью до порядка следования коэффициентов.
►Доказательство достаточно провести для нормального вида.
Пусть в базисе линейного пространства квадратичная форма имеет вид
, (5.21)
а в базисе – вид
. (5.22)
Так как , то достаточно показать, что . Предположим, что это не так. Пусть, например, . Обозначим
, .
Так как а , то сумма не прямая, поэтому , следовательно, . Так как , то из (5.21) видно, что Но так как , то из (5.22) видно, видно, что Итак, мы пришли к противоречию. Таким образом, . Аналогично доказывается, что , значит, .◄
|
Замечание. Для квадратичных форм на комплексном линейном пространстве нормальный вид, очевидно, определяется однозначно, так как количество отличных от нуля коэффициентов совпадает с рангом квадратичной формы.
|
|
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!