Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2021-03-18 | 80 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть – линейный оператор. Выберем в какой-либо базис и обозначим А матрицу оператора в этом базисе. Если Х – координатный столбец собственного вектора в заданном базисе, а – соответствующее ему собственное значение, то (4.41)равносильно равенству , которое, в свою очередь, равносильно следующему:
. (4.47)
Равенство (4.47) можно рассматривать как матричную запись однородной системы линейных уравнений, причем нас интересуют только ее нетривиальные решения. Как следует из § 5 главы 2, для существования таковых необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
. (4.48)
Определение. Характеристическим многочленом матрицы А называется многочлен , уравнение (4.48) называется характеристическим уравнением матрицы А, а корни этого уравнения – ее характеристическими числами.
Лемма 4.2. Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены.
►Пусть матрицы А и подобны, значит, существует невырожденная матрица такая, что . Тогда
Таким образом, матрицы и () тоже подобны, а значит, имеют одинаковые определители.◄
Эта лемма позволяет сформулировать следующее
Определение. Характеристическим многочленом (характеристическим уравнением, характеристическими числами) линейного оператора называется характеристический многочлен (характеристическое уравнение, характеристические числа) его матрицы в некотором, а значит, и в любом базисе.
Из изложенного выше мы видим, что каждое собственное значение линейного оператора является корнем его характеристического уравнения, т. е. характеристическим числом. Обратно, если – корень уравнения (4.48) и , то система (4.47) имеет нетривиальное решение Х 0, значит, АХ 0 = Х 0 и тогда, если – вектор, координатный столбец которого в выбранном базисе совпадает с , то , т. е. – собственное значение оператора . Если же , то оно не может быть собственным значением согласно определению.
|
Итак, собственные значения линейного оператора – те его характеристические числа, которые принадлежат полю P.
Теперь можно сформулировать следующее правило. Пусть А – матрица линейного оператора в некотором базисе. Чтобы найти собственные векторы оператора поступаем следующим образом:
1) составляем характеристическое уравнение (4.48) матрицы А и находим его корни . Те из них, которые принадлежат основному полю, являются собственными значениями (т. е., если Р = С, то все, если Р = R – только действительные);
2) для каждого из полученных собственных значений находим соответствующие ему собственные векторы, решая однородную систему (4.47) при .
Лемма 4.3. Если определитель однородной квадратной системы линейных уравнений
AX = О, (4.49)
равен нулю, то при любом набор
(, , …, ), (4.50)
где – алгебраическое дополнение к элементу матрицы А, – решение системы (4.49).
►Действительно, подставив (4.50) в каждое из уравнений (4.49), получаем
. (4.51)
Равенство (4.51) верно, так как при его левая часть представляет собой разложение по -й строке, а при оно верно на основании теоремы аннулирования. ◄
Пример. Найдем собственные векторы линейного оператора , который в некотором базисе пространства V 3 имеет матрицу
.
▼ 1. Составляем характеристический многочлен:
.
Характеристическое уравнение оператора выглядит так:
|
,
а характеристическими числами будут λ1 = 2; λ2 = 3 – i; λ3 = 3 + i. Если P = R, то собственное значение только одно – λ1 = 2; если же P = C, то все значения будут собственными. Рассмотрим последний случай.
2. λ1 = 2:
. (4.52)
Однородная система с матрицей (4.52) решается устно: . Значит, собственные векторы с этим собственным значением выглядят так: = α(1; 0; 1), .
λ2=3 – i:
. (4.53)
Так как , то . Поэтому достаточно найти один собственный вектор, а все остальные будут ему коллинеарными. Для нахождения же этого вектора воспользуемся леммой 4.3 и найдем упорядоченный набор из алгебраических дополнений к элементам, например, первой строки матрицы (4.53): Тогда все собственные векторы с собственным значением – это
.
λ3=3 + i:
(4.54)
Заметим, что матрицы (4.53) и (4.54) – комплексно-сопряженные. Значит, и решения систем с этими матрицами – тоже комплексно-сопряженные, и поэтому ▲
|
|
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!