Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
 2021-03-17 |
 68 |
из
5.00
|
Заказать работу |
Последовательности
Определение 1. Числовой последовательностью ( в дальнейшем просто последовательностью) называется упорядоченное счетное множество чисел
{ x 1, x 2, x 3,... }.
Обратите внимание на два момента.
1. В последовательности бесконечно много чисел. Если чисел конечное число – это не последовательность!
2. Все числа упорядочены, то есть расположены в определенном порядке.
В дальнейшем для последовательности часто будем использовать сокращенное обозначение { xn }.
Над последовательностями можно производить определенные операции. Рассмотрим некоторые из них.
Определение. Если каждому числу n натурального ряда чисел 1, 2,..., n,... ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число xn, то множество вещественных чисел x1, x2, x3,..., xn мы назовем числовой последовательностью или просто последовательностью. Сокращенно последовательность обозначается - {xn}.
]Задание последовательностей
Чтобы понять смысл слов: „по определенному закону“ ниже на примерах показано, как могут задаваться последовательности ("законы" выделены жирным шрифтом):
1, 2, 3, 4, 5, 6,..., n,... - последовательность натуральных чисел.
2, 4, 6, 8, 10,..., 2n,... - последовательность чётных чисел.
1, 3, 5, 7, 9,..., 2n+1,... - последовательность нечётных чисел.
3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159;...; 3,1415926535897932384626433832;...; 
;... - последовательность приближённых значений числа π с увеличивающейся точностью.
В общем виде последовательности задаются в виде функции, являясь результатом их вычисления.
Связь с функцией
Определение. Числовая последовательность — функция от одного натурального аргумента.
xn - члены числовой последовательности. n - номер члена числовой последовательности. { xn } или 
- общий член.
Таким образом, числовая последовательность это частный вид функции, в котором элементу из множества натуральных чисел по определенному закону однозначно ставится в соответствие элемент из множества вещественных чисел.
1. Умножение последовательности на число.
Последовательность c ×{ xn } – это последовательность с элементами { c × xn }, то есть
c × { x 1, x 2, x 3,... }={ c × x 1, c × x 2, c × x 3,... }.
2. Сложение и вычитание последовательностей.
{ xn }±{ yn }={ xn ± yn },
или, более подробно,
{ x 1, x 2, x 3,... }±{ y 1, y 2, y 3,... }={ x 1± y 1, x 2± y 2, x 3± y 3,... }.
3. Умножение последовательностей.
{ xn }×{ yn }={ xn × yn }.
4. Деление последовательностей.
{ xn }/{ yn }={ xn / yn }.
Естественно, предполагается, что в этом случае все yn ¹0.
Определение 2.
Последовательность { xn } называется ограниченной сверху, если 
.
Последовательность { xn } называется ограниченной снизу, если 
.
Последовательность { xn } называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху и снизу.
Предел последовательности.
Основное определение. Число a называется пределом последовательности { xn } при n стремящимся к бесконечности, если
.
Для этого факта используют следующие обозначения:
или 
.
Подчеркнем, что N зависит от e.
Варианты определения.
Говорят, что 
, если 
.
Говорят, что 
, если 
.
Последовательность { xn } называется бесконечно большой, если 
(то есть, если 
).
Теорема.
Если последовательность { xn } сходится и ее предел равен a, то любая ее подпоследовательность также сходится и имеет тот же самый предел.
Если { xn } – бесконечно большая последовательность, то любая ее подпоследовательность есть также бесконечно большая.
Последовательности
Определение 1. Числовой последовательностью ( в дальнейшем просто последовательностью) называется упорядоченное счетное множество чисел
{ x 1, x 2, x 3,... }.
Обратите внимание на два момента.
1. В последовательности бесконечно много чисел. Если чисел конечное число – это не последовательность!
2. Все числа упорядочены, то есть расположены в определенном порядке.
В дальнейшем для последовательности часто будем использовать сокращенное обозначение { xn }.
Над последовательностями можно производить определенные операции. Рассмотрим некоторые из них.
Определение. Если каждому числу n натурального ряда чисел 1, 2,..., n,... ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число xn, то множество вещественных чисел x1, x2, x3,..., xn мы назовем числовой последовательностью или просто последовательностью. Сокращенно последовательность обозначается - {xn}.
]Задание последовательностей
Чтобы понять смысл слов: „по определенному закону“ ниже на примерах показано, как могут задаваться последовательности ("законы" выделены жирным шрифтом):
1, 2, 3, 4, 5, 6,..., n,... - последовательность натуральных чисел.
2, 4, 6, 8, 10,..., 2n,... - последовательность чётных чисел.
1, 3, 5, 7, 9,..., 2n+1,... - последовательность нечётных чисел.
3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159;...; 3,1415926535897932384626433832;...; ;... - последовательность приближённых значений числа π с увеличивающейся точностью.
В общем виде последовательности задаются в виде функции, являясь результатом их вычисления.
Связь с функцией
Определение. Числовая последовательность — функция от одного натурального аргумента.
xn - члены числовой последовательности. n - номер члена числовой последовательности. { xn } или - общий член.
Таким образом, числовая последовательность это частный вид функции, в котором элементу из множества натуральных чисел по определенному закону однозначно ставится в соответствие элемент из множества вещественных чисел.
1. Умножение последовательности на число.
Последовательность c ×{ xn } – это последовательность с элементами { c × xn }, то есть
c × { x 1, x 2, x 3,... }={ c × x 1, c × x 2, c × x 3,... }.
2. Сложение и вычитание последовательностей.
{ xn }±{ yn }={ xn ± yn },
или, более подробно,
{ x 1, x 2, x 3,... }±{ y 1, y 2, y 3,... }={ x 1± y 1, x 2± y 2, x 3± y 3,... }.
3. Умножение последовательностей.
{ xn }×{ yn }={ xn × yn }.
4. Деление последовательностей.
{ xn }/{ yn }={ xn / yn }.
Естественно, предполагается, что в этом случае все yn ¹0.
Определение 2.
Последовательность { xn } называется ограниченной сверху, если .
Последовательность { xn } называется ограниченной снизу, если .
Последовательность { xn } называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху и снизу.
Предел последовательности.
Основное определение. Число a называется пределом последовательности { xn } при n стремящимся к бесконечности, если
.
Для этого факта используют следующие обозначения:
или .
Подчеркнем, что N зависит от e.
Варианты определения.
Говорят, что , если .
Говорят, что , если .
Последовательность { xn } называется бесконечно большой, если (то есть, если ).
Бесконечно малые последовательности.
Оределение. Последовательность { xn } называется бесконечно малой, если 
, то есть если 
.
Бесконечно малые последовательности имеют следующие свойства.
1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей есть также бесконечно малая последовательность.
2. Бесконечно малая последовательность ограничена.
3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.
4. Если { xn } – бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого N, определена последовательность {1/ xn }, и она есть бесконечно малая последовательность. Наоборот, если { xn } – бесконечно малая последовательность и все xn отличны от нуля, то {1/ xn } есть бесконечно большая последовательность.
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!