История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2020-12-07 | 102 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Сейчас мы научимся интегрировать выражения, содержащие , , или . Эти иррациональности сводятся к тригонометрическим функциям.
Случай 1. .
Замена: (или ).
Рассмотрим замену . На самом деле надо было записать , ведь по идее, для замены надо вводить новую переменную и выражать её через старую. Однако, запомнить здесь вам будет легче именно «обратную» замену в виде .
Далее получается , а корни в этом выражении исчезают так: = = . Таким образом, всё сводится к тригонометрическим функциям.
Пример. Вычислить интеграл .
Здесь , потому что .
Замена . Корень при этом превратится в .
Итак, = = = .
после обратной замены, это .
Можем упростить композицию прямой и обратной тригонометрических функций с помощью чертежа, как это делали недавно. Надо найти косинус того угла, синус которого равен . Подпишем противолежащий катет и гипотенузу, и 2. тогда третья сторона по теореме Пифагора .
Ну а тогда косинус равен .
= = .
Примечание. Этот пример можно было решить и другим методом: подведением под знак дифференциала.
Доказать формулу
С помощью данной замены докажем эту формулу из таблицы интегралов. Сделаем замену , тогда = = = , и обратная замена приводит к .
Случай 2. .
Здесь замена (либо аналогично ).
Подробнее рассмотрим, как и почему исчезает корень квадратный при замене . При этом ,
= = = = = . Таким образом, все корни преобразуются в тригонометрические функции.
Случай 3. .
Замена (либо ). Как действует такая замена.
, = = = = = .
Пример. Вычислить интеграл .
Решение. Здесь под корнем сумма квадратов, и при этом , поэтому замена . Тогда ,
= =
= = =
= = = = .
Сделаем обратную замену.
, то есть . Тогда = .
|
Упростим композицию (косинус арктангенса) с помощью прямоугольного треугольника, как в прошлой задаче. Тангенс некоторого угла равен , а требуется найти его косинус.
Подпишем 2 катета x и 5. Гипотенуза легко вычислится по теореме Пифагора. Теперь видно, что косинус это .
Итак, = . Ответ. .
Итак, корни вида , , могут быть преобразованы к тригонометрическим функциям с помощью замены.
§6. Определённый интеграл и его приложения.
Определение. Пусть функция определена и непрерывна на . Введём разбиение отрезка на n частей: . Каждый из n элементарных отрезков обозначим , а его длину . Возьмём какую-то произвольную точку на каждом из этих отрезков, . Следующая сумма: называется интегральной суммой. Предел при и при условии, что (то есть разбиение отрезка измельчается повсюду, а не только в какой-то его части) называется интегралом функции по отрезку .
Обозначение: .
Геометрически означает сумму площадей прямоугольников, высота каждого из которых равна значению в выбираемой точке :
Чем больше n, тем более узкие прямоугольники получаются, и в пределе эта величина стремится к величине площади между графиком и осью. Геометрический смысл интеграла: площадь криволинейной трапеции под графиком (если график выше оси). Впрочем, интеграл может быть и меньше нуля, так, если то это площадь, расположенная между графиком и осью 0х, взятая с отрицательным знаком.
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!