Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2020-10-20 | 226 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Методическая разработка
на тему: «Производная и ее приложение»
по дисциплине «Математика»
План:
1. Введение.
2. Понятие производной.
3. Кинематический смысл производной.
4. Геометрический смысл производной.
5. Правило нахождения производной.
6. Правила и формулы дифференцирования.
7. Сложная функция и ее производная.
8. Самостоятельно
Введение
При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Ее решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.
Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И.Ньютона и Г.Лейбница.
Механическое истолкование производной было впервые дано И.Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени.
Лейбниц пришел к открытию дифференциального исчисления при решении задачи о построении касательной к любой кривой, заданной уравнением.
Решение этой задачи имеет большое значение. Ведь скорость движущейся точки направлена по касательной к ее траектории, поэтому определение скорости снаряда на его траектории, скорости любой планеты на ее орбите сводится к определению направления касательной к кривой.
Понятие производной
Пусть – некоторая функция, определенная на промежутке (a; b) и - некоторая фиксированная точка этого промежутка. Возьмем произвольное значение x из промежутка (a; b) и составим разность x - . Разность x - называют приращением независимой переменной (или приращением аргумента) функции в точке и обозначают :
|
= x - (1)
Приращением функции в точке называют разность между значением функции в точке и значением функции в точке и обозначают :
= (2).
Т.к. точка считается фиксированной, приращением функции является функцией приращения аргумента .
Составим отношение
,
которое также будет функцией приращения аргумента ; и рассмотрим предел этого выражения при , стремящемся к нулю:
.
Если этот предел существует, то говорят, что функция имеет производную в точке , и пишут:
(3).
Число называется производной функции в точке .
Производная постоянной величины (константы)
Производная переменной (аргумента)
Производная алгебраической суммы функций
Производная произведения функций
Производная частного функций
Формула дифференцирования показательной функции
(Использовался известный предел )
В случае , применяя определение натурального логарифма, для числа е получаем формулу:
Формула дифференцирования тригонометрических функций
А) синуса
(применялась формула разности синусов и использовался первый замечательный предел: )
Б) косинуса
(применялась формула разности косинусов и использовался первый замечательный предел: )
В) тангенса
,
По определению, . Воспользуемся формулой производной частного функций и основным тригонометрическим тождеством:
Г) котангенса
,
По определению, . Воспользуемся формулой производной частного функций и основным тригонометрическим тождеством:
Для нахождения производных логарифмической и обратных тригонометрических функций понадобится теорема о производной обратной функции, так как данные функции являются обратными к показательной и тригонометрическим функциям соответственно.
|
А) арксинуса
Функция , , является обратной к функции , .
По правилу дифференцирования обратной функции
.
Выразим через :
.
Под корнем следует брать знак «+», потому что на промежутке положителен.
Таким образом,
Б) арккосинуса
Функция , , является обратной к функции , .
В) арктангенса
Функция , , является обратной к функции , .
Используя основное тригонометрическое тождество, получаем следующее:
Г) арккотангенса
Функция , , является обратной к функции , .
Методическая разработка
на тему: «Производная и ее приложение»
по дисциплине «Математика»
План:
1. Введение.
2. Понятие производной.
3. Кинематический смысл производной.
4. Геометрический смысл производной.
5. Правило нахождения производной.
6. Правила и формулы дифференцирования.
7. Сложная функция и ее производная.
8. Самостоятельно
Введение
При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Ее решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.
Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И.Ньютона и Г.Лейбница.
Механическое истолкование производной было впервые дано И.Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени.
Лейбниц пришел к открытию дифференциального исчисления при решении задачи о построении касательной к любой кривой, заданной уравнением.
Решение этой задачи имеет большое значение. Ведь скорость движущейся точки направлена по касательной к ее траектории, поэтому определение скорости снаряда на его траектории, скорости любой планеты на ее орбите сводится к определению направления касательной к кривой.
Понятие производной
Пусть – некоторая функция, определенная на промежутке (a; b) и - некоторая фиксированная точка этого промежутка. Возьмем произвольное значение x из промежутка (a; b) и составим разность x - . Разность x - называют приращением независимой переменной (или приращением аргумента) функции в точке и обозначают :
|
= x - (1)
Приращением функции в точке называют разность между значением функции в точке и значением функции в точке и обозначают :
= (2).
Т.к. точка считается фиксированной, приращением функции является функцией приращения аргумента .
Составим отношение
,
которое также будет функцией приращения аргумента ; и рассмотрим предел этого выражения при , стремящемся к нулю:
.
Если этот предел существует, то говорят, что функция имеет производную в точке , и пишут:
(3).
Число называется производной функции в точке .
Нахождение производной называется дифференцированием функции.
Если существует предел (3), также говорят, что функция дифференцируема в точке .
Если функция дифференцируема в каждой точке промежутка (a; b), то говорят, что она дифференцируема в промежутке (a; b).
Производная функции , дифференцируемой в промежутке (a; b), сама является функцией x.
Физический смысл производной
Пусть материальная точка движется по прямой под действием некоторых сил, не меняя направления своего движения, и пусть S(t) - расстояние, пройденное точкой от некоторого момента времени, который принят за нулевой, до момента t. Выберем какой-либо момент времени и рассмотрим промежуток времени от момента до момента . За этот промежуток времени точка пройдет некоторый путь, который обозначим . Этот путь есть функция . По известному из физики определению отношение / есть средняя скорость движения точки за время . Будем рассматривать все меньшие и меньшие промежутки , устремляя к нулю.
Предел называется мгновенной скоростью точки в момент времени .
Производная характеризует мгновенную скорость прямолинейного движения. Однако этим не исчерпывается использование производной. Производная имеет самые широкие практические применения в вопросах физики, химии, геометрии и т.д. При изучении неравномерно меняющихся величин скорость их изменения всегда выражается с помощью производной (мгновенная скорость распада радиоактивных веществ, мгновенная мощность, коэффициент сжатия жидкости при данном давлении, угловая скорость в данный момент времени, сила тока, теплоемкость при данной температуре).
|
Понятие скорости, заимствованное из физики, удобно при исследовании поведения любой функции. Какую бы зависимость ни выражала функция , отношение есть средняя скорость изменения функции относительно изменения аргумента х, а - мгновенная скорость изменения функции при некотором значении .
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!