Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2020-10-20 | 79 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Тема. Вычисление производных. Задачи на исследование функций. Повторение
ЗАДАНИЕ. Изучить материал теоретической части, законспектировать
Вычисление производных проводится по формулам и правилам. Повторяем формулы и правила
Основные правила дифференцирования
Непосредственное вычисление производной функции с помощью предела в большинстве случаев представляет собой громоздкие вычисления. Значительно проще вычислять производные, применяя правила дифференцирования.
Обозначения: С−постоянная; х−аргумент; u, v, w−функции от х, имеющие производные.
Правило 1. Производная постоянной
Правило 2. Производная произведения постоянной на функцию
Правило 3. Производная алгебраической суммы
Правило 4. Производная произведения
Правило 5. Производная частного (дроби)
Частные случаи
Таблица основных формул дифференцирования
Формулы
Элементарные:
1. С΄ = 0, где С-любое число
2. х΄ = 1
3. ()΄ = n
4. (аx+ b)΄ = а
5. ( )΄ =
Сложные:
6. ()΄ = n·(ах+b)ʹ
7. ()΄ =
Тригонометрические
8. (sin x)΄ = cos x
9. (cos x)΄ = - sin x
10. (tg x)΄ =
11. (ctg x)΄ = -
Сложные тригонометрические
12. (sin (kx+b))΄ = k cos (kx+b)
13. (cos (kx+b))΄ = - k sin (kx+b)
14. (tg (kx+b))΄ =
15. (ctg (kx+b))΄ = -
Обратные тригонометрические
16. (arcsin x)΄ =
17. (arccos x)΄ = -
18. (arctg x)΄ =
19. (arcctg x)΄ = -
Дополнительные тригонометрические
20. (sin² x)΄ = sin 2x
21. (cos² x)΄ = - sin 2x
Показательные
22. )΄ =
23. )΄ =
24. ()ʹ = (kx+b)ʹ
25. ()ʹ = (kx+b)ʹ ln a
Логарифмические
26. ln΄x =
27. )΄ =
28. (ln(kx+b))ʹ = 29. ()ʹ =
Пример 1. Найти производную функции .
Решение. Запишем формулу в виде
=
Пример 2. Найти производную функции .
|
Решение. Применяя правило производная произведения и формулы (2) и (15) получим
.
Пример 3. Найти производную функции .
Решение. Применяя правило производная частного и формулы (1) и (5) получим
Пример 4. Найти производную
Решение.
y’= .
Пример 5. Найти производную функции y=sin(3x-5).
Решение. .
Пример 6. Найти производную функции у= .
Решение.
.
Пример 7. Найти производную функции у= .
Решение. Эта функция также является сложной степенной функцией, а именно у= , где u= . Поэтому
.
Пример 8. Найти производную функции у= .
Решение.
= .
Пример 9. Дана функция f(x)= . Найти .
Решение.
.
Вычислим значение производной при х=1
,
. [1]
Применение производной
Применение производной при исследовании функции
На монотонность
Схема исследования ф-и на монотонность:
1) Найти область определения ф-и
2) Найти производную ф-и
3) Решить уравнение f ′(x) = 0
4) Нанести найденные точки (если таковые имеются) на числовой луч (точки
закрашены)
5) Просчитать знаки промежутков (подставляя числа из промежутков в
производную)
6) если «+» - ф-я возрастает
«-» - убывает
7) Если переход знака с «+» на «-» - точка максимума
с «-» на «+» - минимума
Примеры. Исследовать функцию на монотонность:
а) f (x) = 3 – x
x
D (f) = (- ∞; 0) U (0; + ∞)
f ′(x) = (3-x)′ x – (3-x) x′ = - x – 3 + x = - 3
x² x² x²
f ′ (x) = 0 => - 3 ≠ 0
x²
- - x
- ∞ 0 + ∞
Ответ: ф-я убывает (- ∞; 0) и (0; + ∞)
б) f (x) = x - x³
D (f) = R
f ′(x) = 1 – 3 x²
|
f ′(x) = 0 => 1 – 3x² = 0
- 3x² = - 1
x² = ⅓
x = ± 1/√3
- + - x
- ∞ - 1/√3 1/√3 + ∞
Ответ: ф-я возрастает [- 1/√3; 1/√3], убывает (- ∞; - 1/√3] и [1/√3; + ∞)
На экстремумы.
Схема исследования ф-и на экстремумы:
1) Найти область определения ф-и
2) Найти производную ф-и
3) Решить уравнение f ′(x) = 0
4) Нанести найденные точки (если таковые имеются) на числовой луч (точки закрашены)
5) Просчитать знаки промежутков (подставляя числа из промежутков в производную)
6) Если переход знака с «+» на «-» - точка максимума
с «-» на «+» - минимума
Пример. 1. Найти точки экстремума функции f (x) = 3x - x³
D (f) = R
f ′(x) = 3 – 3 x²
f ′(x) = 0 => 3 – 3x² = 0
- 3x² = - 3
x² = 1
x = ± 1
- + - x
- ∞ - 1 1 + ∞
Ответ: хmax = 1; xmin = - 1.
2.Исследовать функцию на экстремумы f (x) = х² - 6х + 9
х - 1
D (f) = (- ∞; 1) U (1; + ∞)
f ′(x) = (x ² - 6 x + 9)′ (x – 1) - (x ² - 6 x + 9) (x – 1)′ =
(x – 1)²
= (2 x - 6) (x - 1) – (x ² - 6 x + 9) = 2 x ² - 2 x – 6 x + 6 - x ² + 6 x – 9 =
(x - 1)² (x - 1)²
= x² - 2x – 3
(x - 1)²
f ′ (x) = 0 => x² - 2x - 3 = 0
(x – 1)²
|
x² - 2x – 3 = 0 (x - 1)² ≠ 0
D = 16, X1 = - 1, X2 = 3 x ≠ 1
+ - - + x
- ∞ - 1 1 3 + ∞
xmax = - 1, уmax = (1+6+9)/ (-2) = - 8;
xmin = 3, уmin = (9-18+9)/2 = 0
Ответ: хmax = - 1, уmax = - 8; хmin = 3, уmin = 0
Тема. Вычисление производных. Задачи на исследование функций. Повторение
ЗАДАНИЕ. Изучить материал теоретической части, законспектировать
Вычисление производных проводится по формулам и правилам. Повторяем формулы и правила
|
|
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!