Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2020-06-02 | 124 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). ДУ 1-го порядка. Частные и общее решения ДУ, интегральные кривые. Задача Коши и теорема существования и единственности ее решения. Особые точки и особые решения ДУ.
Рис. 30
Рассмотрим на плоскости семейство эллипсов
– произвольная положительная постоянная (см. рис. 30).
Найдем семейство кривых, ортогональных семейству эллипсов.
1. Составим дифференциальное уравнение (ДУ) семейства эллипсов.
Продифференцируем уравнение (2.1.1), считая :
Отсюда - ДУ семейства эллипсов. Тогда =
2. Составим ДУ ортогонального семейства. В т. угловой коэффициент касательной должен быть равен , т.е. ДУ ортогонального семейства:
.
3. Найдем уравнение ортогонального семейства:
Получаем – семейство парабол.
Обыкновенное ДУ 1-го порядка -
, где – неизвестная функция; – функция 3-х переменных.
ДУ 1-го порядка, разрешенные относительно производной:
– определена в области .
Опр. Частным решением ДУ (2.1.2) называется функция , определенная на , при подстановке которой в ДУ (2.1.2) оно обращается в тождество на , т.е. .
Пример.
.
– частное решение, т.к. – тождество;
– также частное решение, т.к. – тождество.
Опр. График частного решения ДУ называется интегральной кривой ДУ
Опр. Равенство , неявно задающее решение ДУ называется частным интегралом ДУ .
Задача Коши для ДУ : найти частные решения ДУ , удовлетворяющие начальному условию , где ,
т.е. задача Коши может быть записана следующими образом:
Геометрический смысл: найти интегральную кривую ДУ , проходящую через т. .
Теорема Коши существования и единственности решения задачи Коши для ДУ 1-го порядка.
|
Пусть функция и ее частная производная непрерывны в области . Тогда для точки существует и при том единственное решение задачи Коши.
Геометрический смысл: единственная интегральная кривая, проходящая через т. .
Замечание. Решение определено только в окрестности т. .
Пример.
и непрерывны в области
, т.е. в окрестности точки 0. В любой большей окрестности 0 функция и не удовлетворяет ДУ в этих точках.
Пример (неединственность в задаче Коши).
,
Из начального условия .
– также решение данной задачи Коши.
Рис. 31
Через точку проходит более одной интегральной кривой (см. рис. 31). Не выполняется условие непрерывности
Опр. Общим решением ДУ называется семейство функций, зависящих от параметра , т.е. , – произвольная постоянная, такое, что:
1. для фиксированного функция является частным решением,
2. для т. такое, что частное решение удовлетворяет начальному условию
Замечание. ДУ можно записать в виде (используя то, что .
Опр. Равенство , неявно задающее общее решение называется общим интегралом ДУ
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). ДУ 1-го порядка. Частные и общее решения ДУ, интегральные кривые. Задача Коши и теорема существования и единственности ее решения. Особые точки и особые решения ДУ.
Рис. 30
Рассмотрим на плоскости семейство эллипсов
– произвольная положительная постоянная (см. рис. 30).
Найдем семейство кривых, ортогональных семейству эллипсов.
1. Составим дифференциальное уравнение (ДУ) семейства эллипсов.
Продифференцируем уравнение (2.1.1), считая :
Отсюда - ДУ семейства эллипсов. Тогда =
2. Составим ДУ ортогонального семейства. В т. угловой коэффициент касательной должен быть равен , т.е. ДУ ортогонального семейства:
.
3. Найдем уравнение ортогонального семейства:
Получаем – семейство парабол.
|
Обыкновенное ДУ 1-го порядка -
, где – неизвестная функция; – функция 3-х переменных.
ДУ 1-го порядка, разрешенные относительно производной:
– определена в области .
Опр. Частным решением ДУ (2.1.2) называется функция , определенная на , при подстановке которой в ДУ (2.1.2) оно обращается в тождество на , т.е. .
Пример.
.
– частное решение, т.к. – тождество;
– также частное решение, т.к. – тождество.
Опр. График частного решения ДУ называется интегральной кривой ДУ
Опр. Равенство , неявно задающее решение ДУ называется частным интегралом ДУ .
Задача Коши для ДУ : найти частные решения ДУ , удовлетворяющие начальному условию , где ,
т.е. задача Коши может быть записана следующими образом:
Геометрический смысл: найти интегральную кривую ДУ , проходящую через т. .
|
|
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!