Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2020-04-03 | 162 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания
.
Слово «дисперсия» означает «рассеяние», т.е. дисперсия характеризует рассеяние (разбросанность) значений случайной величины около ее математического ожидания.
Из определения следует, что дисперсия – это постоянная величина, т.е. числовая характеристика случайной величины, которая имеет размерность квадрата случайной величины.
С вероятной точки зрения, дисперсия является мерой рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания.
Действительно, рассмотрим дискретную случайную величину, которая имеет конечное множество значений. Тогда, согласно определению, дисперсия вычисляется по формуле
. (2)
Если дисперсия мала, то из формулы (2) следует, что малы слагаемые . Поэтому, если не рассматривать значения , которым соответствует малая вероятность (такие значения практически невозможны), то все остальные значения мало отклоняются от математического ожидания . Следовательно, при малой дисперсии возможные значения случайной величины концентрируются около ее математического ожидания (за исключением, может быть, сравнительно малого числа отдельных значений). Если дисперсия велика, то это означает большой разброс значений случайной величины, концентрация значений случайной величины около какого-нибудь центра исключается.
Пример. Пусть случайные величины и имеют следующее законы распределения
Таблица 9. Таблица 10.
-0,1 | 0 | 0,1 | 0,4 | -10 | 0,5 | 10 | |||
0,3 | 0,15 | 0,3 | 0,25 | 0,4 | 0,2 | 0,4 |
Найти математические ожидания и дисперсии этих случайных величин.
|
Решение. Воспользовавшись формулой для вычисления математических ожиданий, находим
.
.
С помощью формулы (2) вычислим дисперсии заданных случайных величин
.
Из полученных результатов делаем вывод: математические ожидания случайных величин и одинаковы, однако дисперсии различны. Дисперсия случайной величины мала и мы видим, что ее значение сконцентрированы около ее математического ожидания . Напротив, значения случайной величины значительно рассеяны относительно , а поэтому дисперсия имеет большое значение. ●
Свойства дисперсии
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю
.
Доказательство.
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат
.
Доказательство.
Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий
.
Доказательство. Воспользуемся определением дисперсии и свойствами 3, 2 математического ожидания, имеем
(3)
Определение. Математическое ожидание произведения отклонений случайных величин и от их математических ожиданий называется корреляционным моментом этих величин
.
Если случайные величины, величины и независимы, то, воспользовавшись свойствами 6 и 7 математических ожиданий, находим
.
Поэтому из формулы 3 имеем
,
откуда окончательно следует
. ●
С помощью метода математической индукции это свойство может быть распространено на случай любого конечного числа независимых случайных величин.
Свойство 4. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий
. ●
Свойство 5. Дисперсия разности двух случайных независимых величин равна сумме дисперсий этих величин
.
Доказательство.
Свойство 6. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию
квадрата этой величины минус квадрат ее математического ожидания
.
(Эта формула применяется для вычисления дисперсии)
|
|
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!