Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2020-05-07 | 413 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода, их свойства. Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.
Несобственные интегралы 1-го рода
Пусть определена на и интегрируема на любом отрезке вида . Зафиксируем и рассмотрим определенный интеграл .
Опр. Несобственным интегралом 1 рода функции от до называется предел при определенного интеграла от до :
Если конечный предел , то несобственный интеграл от до называется сходящимся, в противном случае (т.е. если предел равен или не существует) – расходящимся.
Геометрический смысл – площадь бесконечной фигуры, ограниченной линиями (см. рис. 8).
Аналогично для функции , определенной на по определению
(см. рис. 9).
Свойство линейности.
Если , сходятся, то сходятся интегралы
.
Аналогично для .
Вычисление несобственного интеграла 1-го рода.
Пусть – первообразная для на , тогда
Таким образом, сходится конечный предел первообразной
Примеры.
,
Рис. 10
Рис. 11
1.
Рис. 12
2.
Исследование несобственных интегралов 1-го рода на сходимость.
Признаки сходимости:
1. Признак сравнения.
Пусть
a. Если сходится, то также сходится (см. рис. 13).
b. Если расходится, то также расходится.
2. Предельный признак сравнения:
пусть для и при , т.е. .
Тогда и оба сходятся или оба расходятся.
3. Если сходится , то сходится и (обратное неверно!).
В качестве «образцов» интегралов для сравнения обычно используются интегралы
(a>0).
Примеры.
1. .
при расходится исходный интеграл расходится по предельному признаку.
При ; ; ,
; интеграл сходится по предельному признаку.
|
3.
Т.к. при (логарифм растет медленней степенной функции), то исходный интеграл сходится по признаку сравнения.
.
– сходится сходится по признаку 3.
Несобственные интегралы 2-го рода
Пусть непрерывна на , но не ограничена в левой окрестности точки . Определенный интеграл не существует, т.к. – неограниченная. Рассмотрим . Т.к. непрерывна на , то – определенный интеграл.
Опр. Несобственным интегралом 2 рода по от функции , неограниченной в окрестности точки , называется предел
Если существует конечный предел (1.8.2), то несобственный интеграл 2-го рода называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Геометрический смысл:
при – площадь фигуры, ограниченной линиями (см. рис. 15).
Рис. 15
– несобственный интеграл 2-го рода для функции с особой точкой .
– несобственный интеграл 2-го рода для функции с особой точкой
Рис. 16
Свойство линейности.
Если , сходятся, то сходятся интегралы
.
Вычисление несобственного интеграла 2-го рода.
Случай функции с особой точкой
– первообразная для
Таким образом, сходится конечный предел первообразной .
Примеры.
Рассмотрим интегралы
Рассмотрим случай интеграла с особой точкой в левом конце отрезка:
Случай
Аналогично рассматривается интеграл с особой точкой в правом конце отрезка. Таким образом
имеет при порядок роста относительно ).
Примеры несобственных интегралов с несколькими особыми точками
1.
Исходный интеграл сходится, если сходятся оба интеграла в правой части:
a. .
b. .
.
(несобственный интеграл 2-го рода + несобственный интеграл 1-го рода ).
a. – сходится при
b. – сходится при
Значит, расходится для любого .
.
a.
При
b.
При .
Таким образом исходный интеграл расходится.
Объемы тел вращения.
Рис. 26
Фигура, ограниченная линиями , вращается вокруг оси (см. рис. 26).
Найдем объем тела вращения. Зафиксируем . Сечение тела плоскостью – круг радиуса . Тогда
|
Ту же фигуру вращаем вокруг оси (см. рис. 27).
Рис. 27
Рассмотрим малый отрезок , где . При вращении соответствующей части фигуры получаем тело объема , где – площадь кольца радиусов и соответственно:
Тогда
Суммируя по тонким "слоям", получим
Общий случай:
Таким образом получаем для вращения фигуры, ограниченной линиями , имеем
При вращении фигуры, ограниченной линиями (см. рис. 28).
Рис. 28
Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода, их свойства. Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!