Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2019-10-25 | 95 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)
Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y (x) и ее производные различных порядков по x. Порядок старшей производной, входящей в данное уравнение, называется порядком этого уравнения. В общем виде дифференциальное уравнение порядка n имеет вид
. (1)
В уравнении (1) могут отсутствовать x, y или отдельные производные порядка ниже n.
Всякая функция , при подстановке которой в (1) получается верное равенство, называется решением этого дифференциального уравнения.
Решить или проинтегрировать дифференциальное уравнение – значит найти все его решения в заданной области. Всякое дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Общим решением дифференциального уравнения (1) называется его решение , содержащее столько произвольных постоянных, каков порядок этого уравнения. Если общее решение задано в неявном виде , то его называют общим интегралом.
Всякое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения приданием определенных значений произвольным постоянным, в него входящим, называется частным решением этого дифференциального уравнения.
Дифференциальное уравнение I порядка имеет вид
. (2)
В простейших случаях его можно разрешить относительно производной и представить в виде
. (3)
Поскольку геометрический смысл производной в точке – тангенс угла наклона касательной, проведенной к интегральной кривой в этой точке, а угол определяет направление, то для дифференциального уравнения (3) говорят о поле направлений, заданном в области определения функции .
Если требуется найти решение дифференциального уравнения (2), удовлетворяющее заданному начальному условию , то говорят о задаче Коши.
Теорема. Пусть в дифференциальном уравнении (3) функция и ее частная производная непрерывны на множестве D плоскости Oxy. Тогда для всякой точки найдется решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию . При этом если два решения уравнения (3) и совпадают хотя бы для одной точки , т.е. , то они совпадают для всех значений аргумента из их областей определения.
Приведенная теорема устанавливает условия существования и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений I порядка.
Не существует общего метода интегрирования дифференциальных уравнений I порядка.
Дифференциальные уравнения I порядка
Дифференциальные уравнения старших порядков
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)
Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y (x) и ее производные различных порядков по x. Порядок старшей производной, входящей в данное уравнение, называется порядком этого уравнения. В общем виде дифференциальное уравнение порядка n имеет вид
. (1)
В уравнении (1) могут отсутствовать x, y или отдельные производные порядка ниже n.
Всякая функция , при подстановке которой в (1) получается верное равенство, называется решением этого дифференциального уравнения.
Решить или проинтегрировать дифференциальное уравнение – значит найти все его решения в заданной области. Всякое дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Общим решением дифференциального уравнения (1) называется его решение , содержащее столько произвольных постоянных, каков порядок этого уравнения. Если общее решение задано в неявном виде , то его называют общим интегралом.
Всякое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения приданием определенных значений произвольным постоянным, в него входящим, называется частным решением этого дифференциального уравнения.
Дифференциальное уравнение I порядка имеет вид
. (2)
В простейших случаях его можно разрешить относительно производной и представить в виде
. (3)
Поскольку геометрический смысл производной в точке – тангенс угла наклона касательной, проведенной к интегральной кривой в этой точке, а угол определяет направление, то для дифференциального уравнения (3) говорят о поле направлений, заданном в области определения функции .
Если требуется найти решение дифференциального уравнения (2), удовлетворяющее заданному начальному условию , то говорят о задаче Коши.
Теорема. Пусть в дифференциальном уравнении (3) функция и ее частная производная непрерывны на множестве D плоскости Oxy. Тогда для всякой точки найдется решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию . При этом если два решения уравнения (3) и совпадают хотя бы для одной точки , т.е. , то они совпадают для всех значений аргумента из их областей определения.
Приведенная теорема устанавливает условия существования и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений I порядка.
Не существует общего метода интегрирования дифференциальных уравнений I порядка.
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!