Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2019-08-04 | 110 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Продольное обтекание тел вращения
Для расчета внешнего осесимметричного обтекания тел вращения (см. Приложение 1) возьмем в меридианальных плоскостях (r, x) эллиптическуюсистему координат (x, h), связанную с (r, x) соотношениями
х = с ch x cos h, 0 £ x £ ¥,
r = с sh x sin h, 0 £ h £ 2p,
где величина c представляет расстояние фокусов семейства координатных линий – сoфокусных эллипсов и гипербол – от начала координат.
Положим
ch x = l, cos h = m, l £ l £ ¥, -1 £ m £ 1;
тогда связь между координатами (r, x) и (l, m) будет иметь вид
х = сlm, r = с Ö l2 – 1 Ö 1 – m2. (1)
Определив производные
найдем коэффициенты Ламе[1]
(2)
После этого уже нетрудно составить и основное дифференциальное уравнение Лапласа для потенциала скоростей. Согласно формуле[2]
(*)
получим (3)
Будем искать частное решение этого уравнения в виде произведения двух функций от переменных l и m в отдельности
j = L(l) M(m); (4)
тогда в уравнении (2) переменные разделятся и из равенства
в силу независимости l и m будет следовать, что каждая из частей равенства должна быть постоянной. Полагая эту постоянную равной n (n+1), где n – целое положительное число, получим для определения L(l) и М(m) два обыкновенных линейных уравнения второго порядка лежандрова типа
(5)
Этим уравнениям удовлетворяют[3] два класса независимых решений:
1) функции Лежандра 1-го рода – полиномы Лежандра Pn (х), определяемые равенствами
2)
P0(x) = 1, Р1(х) = х, P2(x) = 0.5 (Зх2-1), P3(x) = 0.5 (5x3-3x),…
и рекуррентным соотношением для вычисления последующих полиномов
(n + 1) Pn +1(х) = (2n + 1) хРn(х) – nРn-1(х);
2) функции Лежандра 2-го рода Qn(х), определяемые равенствами
и рекуррентным соотношением
(n + 1) Qn+1(х) = (2n + 1) xQn(х) – nQn-1(х),
совпадающим с предыдущим соотношением для полиномов Лежандра.
Представим решение уравнения (3) как сумму двух потенциалов: 1) потенциала j¥ однородного потока, набегающего на тело со скоростью U ¥; этот потенциал по первой из формул (1) будет равен j ¥ = U ¥ x = U ¥ c l m. и 2) потенциала j' скоростей возмущений, который выразим суммой частных решений (4).
Функция Pn(х), как полином n -й степени, обращается в бесконечность при бесконечно возрастающем аргументе, функция же Qn(х) при этом стремится к нулю, но зато логарифмически бесконечна при х = ± 1. В случае внешнего обтекания тела координата l = ch x может достигать бесконечных значений, а координата m ограничена. Примем во внимание, что потенциал скоростей возмущенного движения (т.е. обтекания за вычетом однородного потока со скоростью, равной скорости на бесконечности) должен стремиться к нулю при удалении от поверхности тела, причем .
Из приведенных соображений следует, что искомые частные решения должны иметь вид произведений Qn(l) Pn(m) (n = 1, 2,…);
подчеркнем, отсчет n при суммировании начинается с единицы, а не с нуля. Это подтверждается наличием следующих очевидных асимптотических равенств, справедливых при больших значениях l, а, следовательно, согласно (1), и R = = Ö х2 + r2, имеющего тот же порядок, что иl:
Таким образом, будем иметь правильный порядок убывания j' на бесконечности, если положим
, (6)
где An - постоянные коэффициенты, зависящие от формы поверхности тела.
Складывая потенциалы j¥ и j', получим искомый потенциал скоростей продольного обтекания тела вращения со скоростью на бесконечности, равной U ¥,
(7)
Для определения коэффициентов An найдем выражение функции тока y. По формуле (2) будем иметь
или после подстановки разложения (7)
Переписывая второе равенство в виде
подставим под знак суммы выражение для Pn из основного дифференциального уравнения функций Лежандра (5)
Тогда будем иметь
Интегрируя по m и добавляя необходимую функцию от l, получим окончательное выражение для функции тока
(8)
Уравнение нулевой поверхности тока будет
(9)
Сравнивая его с заданным уравнением профиля тела вращения в эллиптических координатах, можно определить величины коэффициентов Аn, что и решает задачу. Конечно, именно этот пункт и является наиболее сложным с вычислительной стороны.
Имея выражение потенциала скоростей, найдем скорость по формуле (10).
Продольное обтекание тел вращения
Для расчета внешнего осесимметричного обтекания тел вращения (см. Приложение 1) возьмем в меридианальных плоскостях (r, x) эллиптическуюсистему координат (x, h), связанную с (r, x) соотношениями
х = с ch x cos h, 0 £ x £ ¥,
r = с sh x sin h, 0 £ h £ 2p,
где величина c представляет расстояние фокусов семейства координатных линий – сoфокусных эллипсов и гипербол – от начала координат.
Положим
ch x = l, cos h = m, l £ l £ ¥, -1 £ m £ 1;
тогда связь между координатами (r, x) и (l, m) будет иметь вид
х = сlm, r = с Ö l2 – 1 Ö 1 – m2. (1)
Определив производные
найдем коэффициенты Ламе[1]
(2)
После этого уже нетрудно составить и основное дифференциальное уравнение Лапласа для потенциала скоростей. Согласно формуле[2]
(*)
получим (3)
Будем искать частное решение этого уравнения в виде произведения двух функций от переменных l и m в отдельности
j = L(l) M(m); (4)
тогда в уравнении (2) переменные разделятся и из равенства
в силу независимости l и m будет следовать, что каждая из частей равенства должна быть постоянной. Полагая эту постоянную равной n (n+1), где n – целое положительное число, получим для определения L(l) и М(m) два обыкновенных линейных уравнения второго порядка лежандрова типа
(5)
Этим уравнениям удовлетворяют[3] два класса независимых решений:
1) функции Лежандра 1-го рода – полиномы Лежандра Pn (х), определяемые равенствами
2)
P0(x) = 1, Р1(х) = х, P2(x) = 0.5 (Зх2-1), P3(x) = 0.5 (5x3-3x),…
и рекуррентным соотношением для вычисления последующих полиномов
(n + 1) Pn +1(х) = (2n + 1) хРn(х) – nРn-1(х);
2) функции Лежандра 2-го рода Qn(х), определяемые равенствами
и рекуррентным соотношением
(n + 1) Qn+1(х) = (2n + 1) xQn(х) – nQn-1(х),
совпадающим с предыдущим соотношением для полиномов Лежандра.
Представим решение уравнения (3) как сумму двух потенциалов: 1) потенциала j¥ однородного потока, набегающего на тело со скоростью U ¥; этот потенциал по первой из формул (1) будет равен j ¥ = U ¥ x = U ¥ c l m. и 2) потенциала j' скоростей возмущений, который выразим суммой частных решений (4).
Функция Pn(х), как полином n -й степени, обращается в бесконечность при бесконечно возрастающем аргументе, функция же Qn(х) при этом стремится к нулю, но зато логарифмически бесконечна при х = ± 1. В случае внешнего обтекания тела координата l = ch x может достигать бесконечных значений, а координата m ограничена. Примем во внимание, что потенциал скоростей возмущенного движения (т.е. обтекания за вычетом однородного потока со скоростью, равной скорости на бесконечности) должен стремиться к нулю при удалении от поверхности тела, причем .
Из приведенных соображений следует, что искомые частные решения должны иметь вид произведений Qn(l) Pn(m) (n = 1, 2,…);
подчеркнем, отсчет n при суммировании начинается с единицы, а не с нуля. Это подтверждается наличием следующих очевидных асимптотических равенств, справедливых при больших значениях l, а, следовательно, согласно (1), и R = = Ö х2 + r2, имеющего тот же порядок, что иl:
Таким образом, будем иметь правильный порядок убывания j' на бесконечности, если положим
, (6)
где An - постоянные коэффициенты, зависящие от формы поверхности тела.
Складывая потенциалы j¥ и j', получим искомый потенциал скоростей продольного обтекания тела вращения со скоростью на бесконечности, равной U ¥,
(7)
Для определения коэффициентов An найдем выражение функции тока y. По формуле (2) будем иметь
или после подстановки разложения (7)
Переписывая второе равенство в виде
подставим под знак суммы выражение для Pn из основного дифференциального уравнения функций Лежандра (5)
Тогда будем иметь
Интегрируя по m и добавляя необходимую функцию от l, получим окончательное выражение для функции тока
(8)
Уравнение нулевой поверхности тока будет
(9)
Сравнивая его с заданным уравнением профиля тела вращения в эллиптических координатах, можно определить величины коэффициентов Аn, что и решает задачу. Конечно, именно этот пункт и является наиболее сложным с вычислительной стороны.
Имея выражение потенциала скоростей, найдем скорость по формуле (10).
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!