История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2019-08-04 | 272 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
4.1. Краткий обзор результатов по уравнению КдФ.Задача Коши для уравнения КдФ при различных предположениях относительно u 0 (х) рассматривалась во многих работах [10-17]. Задача о существовании и единственности решения с условиями периодичности в качестве краевых условий была решена в работе [10] с помощью метода конечных разностей. Позже, при менее сильных предположениях, существование и единственность были доказана в статье [11] в пространстве L¥(0,T,Hs(R1)), где s>3/2, а в случае периодической задачи - в пространстве L¥(0,T,H¥(C))где С - окружность длины, равной периоду, на русском языке эти результаты представлены в книге [12].
Случай, когда не предполагается какая-либо гладкость начальной функции u 0 Î L 2 (R 1), рассмотрен в работе [13]. Там вводится понятие обобщенного решения задачи (3.2),(3.4), устанавливается существование обобщенного решения и(t,х) Î L ¥ (0, T, L 2 (R 1)) в случае произвольной начальной функции u0 Î L 2 (R 1); при этом и(t,х) Î L 2 (0,Т;H-1(- r, r)) для любого r>0, и если для некоторого a > 0 (x a u 0 2 (x)) Î L 1 (0,+ ¥), то
(4.1)
Используя обращение линейной части уравнения при помощи фундаментального решения G (t,x) соответствующего линейного оператора , вводится класс корректности задачи (3.2),(1.4) и устанавливаются теоремы единственности и непрерывной зависимости решений этой задачи от начальных данных. Также исследуются вопросы регулярности обобщенных решений. Одним из основных результатов является достаточное условие существования непрерывной по Гельдеру при t > 0 производной в терминах существования моментов для начальной функции, для любых k и l.
Задача Коши для уравнения КдФ исследовалась также методом обратной задачи рассеяния, предложенном в работе [14]. При помощи этого метода были получены результаты о существовании и гладкости решений при достаточно быстро убывающих начальных функциях, причем в [15] установлен, в частности, результат о разрешимости задачи (3.2),(3.4) в пространстве C ¥ (О, Т; S(R1)).
|
Наиболее полный обзор современных результатов по уравнению КдФ можно найти в [16].
4.2. Законы сохранения для уравнения КдФ. Как известно, для уравнения КдФ существует бесконечное число законов сохранения. В работе [17] приводится строгое доказательство этого факта. В работах [11], [12] различные законы сохранения применялись для доказательства нелокальных теорем существования решения задачи (3.2),(3.4) из соответствующих пространств.
Продемонстрируем вывод первых трех законов сохранения для задачи Коши на R1 и периодической задачи.
Для получения первого закона сохранения достаточно проинтегрировать уравнения (3.2) по пространственной переменной. Получим:
отсюда и следует первый закон сохранения: |
Здесь в качестве a и b выступают +¥ и -¥ для задачи Коши и границы основного периода для периодической задачи. Поэтому второе и третье слагаемые обращаются в 0.
(4.2)
Для вывода второго закона сохранения следует умножить уравнение (3.2) на 2 u (t,x) и проинтегрировать по пространственной переменной. Тогда, используя формулу интегрирования по частям получим:
но в силу "краевых" условий все слагаемые кроме первого опять сокращаются
Таким образом второй интегральный закон сохранения имеет вид:
(4.3)
Для вывода третьего закона сохранения нужно умножить наше уравнение (3.2) на (и2 + 2 b ихх), таким образом получим:
После применения несколько раз интегрирования по частям третий и четвертый интегралы сокращаются. Второе и третье слагаемые исчезают из-за граничных условий. Таким образом из первого интеграла получаем:
что эквивалентно
(4.4)
А это и есть третий закон сохранения для уравнения (3.2). Под физическим смыслом первых двух интегральных законов сохранения в некоторых моделях можно понимать законы сохранения импульса и энергии, для третьего и последующих законов сохранения физический смысл охарактеризовать уже труднее, но с точки зрения математики эти законы дают дополнительную информацию о решении, которая используется потом для доказательств теорем существования и единственности решения, исследования его свойств и вывода априорных оценок.
|
5. Разностные схемы для решения уравнения КдФ
3.1. Обозначения и постановка разностной задачи. В области ={(x, t):0 £ x £ l,0 £ t £ T } обычным образом введем равномерные сетки, где
Введем линейное пространство W h сеточных функций, определенных на сетке со значениями в узлах сетки yi = yh (xi). Предполагается, что выполнены условия периодичности y 0 = yN. Кроме того, формально полагаем yi + N = yi для i ³ 1.
Введем скалярное произведение в пространстве W h
(5.1)
Снабдим линейное пространство П/г нормой: |
Поскольку в пространство W h входят периодические функции, то это скалярное произведение эквивалентно скалярному произведению:
Будем строить разностные схемы для уравнения (3.2) на сетке с периодическими краевыми условиями. Нам потребуются обозначения разностных аппроксимаций. Введем их.
Используем стандартные обозначения для решения уравнения на очередном (n-м) временном слое, то есть
Введем обозначения для разностных аппроксимаций производных. Для первой производной по времени:
Аналогично для первой производной по пространству:
Теперь введем обозначения для вторых производных:
Третью пространственную производную будем аппроксимировать следующим образом:
Также нам потребуется аппроксимация у2, которую мы обозначим буквой Q и введем следующим образом:
(5.2)
Для записи уравнения на полу целых слоях будем использовать уравновешенную аппроксимацию, т.е.
за исключением аппроксимации у2 на полу целом слое. Приведем одну из возможных аппроксимаций у2 на полу целом слое:
Замечание 2. Стоит отметить, что для 1 выполняется равенство:
Определение 1.Следуя [19] разностную схему для уравнения КдФ будем называть консервативной, если для нее имеет место сеточный аналог первого интегрального закона сохранения, справедливого для дифференциальной задачи.
|
Определение 2.Следуя [19] разностную схему для уравнения КдФ будем называть L2-консервативной, если для нее имеет место сеточный аналог второго интегрального закона сохранения, справедливого для дифференциальной задачи.
5.2. Явные разностные схемы (обзор). При построении разностных схем будем ориентироваться на простейшую разностную схему из работы [19] для линеаризованного уравнения КдФ, которое сохраняет свойства самого уравнения КдФ в смысле двух первых законов сохранения.
(5.3)
Исследуем теперь схему (5.4) на свойства консервативности. Выполнение первого закона сохранения очевидно. Достаточно просто умножить это уравнение скалярно на 1. Тогда второе и третье слагаемые схемы (5.4) дадут 0, а от первого останется:
(5.4)
Это сеточный аналог первого закона сохранения.
Для вывода второго закона сохранения умножим скалярно уравнение (5.3) на 2 t у. Приходим к энергетическому тождеству
(5.5)
Наличие отрицательного дисбаланса говорит не только о невыполнении соответствующего закона сохранения, но и ставит под сомнение вопрос вообще об устойчивости схемы в наиболее слабой норме L 2 ().)- В работе [15] показано, что схемы семейства (3.18) являются абсолютно неустойчивыми в норме L 2 ().
Другим примером явной двухслойной схемы является двух шаговая схема Лакса-Вендрофа [20].Это схема типа предиктор-корректор:
В данный момент наиболее популярными схемами для уравнения КдФ считаются трехслойные схемы ввиду их простоты, точности и удобства реализации.
(5.6)
Эту же схему можно представить в виде явной формулы |
(5.7)
Самой простой трехслойной схемой является следующая схема:
Эта схема была использована при получении первых численных решений КдФ [8]. Эта схема аппроксимирует дифференциальную задачу с порядком О (t2 + h2). Согласно [21], схема является устойчивой при выполнении условия (при малых Ь):
Приведем еще несколько схем. Трехслойная явная схема с порядком аппроксимации O (t 2 + h 4) [20]:
Третья производная по пространству аппроксимируется на семиточечном шаблоне, а первая строится по пяти точкам. Согласно [21], эта схема устойчива при выполнении условия (при малых h):
|
Легко видеть, что для этой схемы с более высоким порядком аппроксимации условие устойчивости является более жестким.
В работе [19] предлагается следующая явная разностная схема с порядком аппроксимации О(t2 + h2):
(5.8)
Так как разностное уравнение (5.8) можно записать в дивергентном виде
(5.9)
то, скалярно умножив уравнение (5.9) на 1, получим
следовательно, выполняется соотношение:
которое можно считать сеточным аналогом первого закона сохранения. Таким образом, схема (5.8) является консервативной. В [19] доказано, что схема (5.8) является L 2 -консервативной и ее решение удовлетворяет сеточному аналогу интегрального закона сохранения
5.3. Неявные разностные схемы (обзор). В этом параграфе мы рассмотрим неявные разностные схемы для уравнения Кортевега-де Фриза.
Вариант двухслойной схемы - неявная абсолютно устойчивая схема с порядком аппроксимации О (t2, h4) [21]:
Решение разностной схемы (3.29) вычисляется с помощью семи диагональной циклической прогонки [22]. Вопрос о консервативности этой схемы не исследовался.
В работе [15] предлагается неявная трехслойная схема с весами:
(5.10)
Разностная схемы (5.10) с периодическими по пространству решениями, консервативна, L2-консервативна при s =1/2 и s =1/4 для ее решения имеют место сеточные аналоги интегральных законов сохранения.
Численное решение
|
|
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!