Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2018-01-30 | 229 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение 2.2. Числовой ряд , члены которого после любого номера имеют разные знаки, называется знакопеременным.
Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.
Теорема 2.2. Пусть дан знакопеременный ряд
. (2.2)
Если сходится ряд, составленный из модулей членов данного ряда
, (2.3)
то сходится и сам знакопеременный ряд (2.2).
Надо отметить, что обратное утверждение неверно: если сходится ряд (2.2), то это не означает, что будет сходиться ряд (2.3).
Определение 2.3. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.
Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место. Такие ряды обладают рядом свойств, которые сформулируем без доказательства.
Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами и есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна .
Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычитаются, перемножаются как обычные ряды. Суммы таких рядов не зависит от порядка записи членов.
В случае условно сходящихся рядов соответствующие утверждения (свойства), вообще говоря, не имеют места.
|
Так, переставляя члены условно сходящегося ряда, можно добиться того, что сумма ряда измениться. Например, ряд условно сходится по признаку Лейбница. Пусть сумма этого ряда равна . Перепишем его члены так, что после одного положительного члена будут идти два отрицательных. Получим ряд
Сумма уменьшилась вдвое!
Более того, путем перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить сходящийся ряд с заранее заданной суммой или расходящийся ряд (теорема Римана).
Поэтому действия над рядами нельзя производить, не убедившись в их абсолютной сходимости. Для установления абсолютной сходимости используют все признаки сходимости числовых рядов с положительными членами, заменяя всюду общий член его модулем.
Пример 2.1. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Исходный ряд знакопеременный. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, т.е. ряд . Так как , то члены сходного ряда не больше членов ряда Дирихле , который, как известно, сходится. Следовательно, на основании признака сравнения данный ряд сходится абсолютно.,
Пример 2.2. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. 1) Данный ряд знакочередующийся. Используем признак Лейбница. Проверим, выполняются ли условия.
Следовательно, исходный ряд сходится.
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!