Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2018-01-30 | 170 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Первообразная функция и неопределенный интеграл
Определение. Функция F(x) называется первообразной функциейфункции f(x) на отрезке [ a, b ], если в любой точке этого отрезка верно равенство:
F¢(x) = f(x)
Определение. Неопределенным интеграломфункции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:
F(x) + C.
Записывают:
Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.
Свойства неопределенного интеграла
1.
2.
3.
4.
где u, v, w – некоторые функции от х.
5.
Таблица основных интегралов
Интеграл | Значение | Интеграл | Значение | ||
arcsin + C | |||||
ex + C | ln | ||||
sinx + C | -ln½cosx½+С | ||||
-cosx + C | ln½sinx½+ C | ||||
tgx + C | |||||
-ctgx + C |
Методы интегрирования
1. Непосредственное интегрирование. Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием.
Пример.
Проверка:
Проверка:
2. Способ подстановки (замены переменных). Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:
Пример.
Проверка:
Проверка:
Интегрирование по частям
Формула интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.
Замечание: Если в подынтегральной функции имеется множитель вида , , , , , , то их удобно принимать в качестве , так как они легче дифференцируются.
Если подынтегральная функция имеет вид , , , , , то за удобно принимать , где - это некоторый многочлен, причем формулу интегрирования по частям необходимо применять столько раз, какова степень многочлена.
|
Пример.
Проверка:
Проверка:
Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.
Примеры решения типовых задач
№ 1. Найти интеграл следующих функций:
а). б). в). г).
д). е). ж). з).
и). к). л). м). н).
Решение:
а).
б) Воспользуемся подстановкой x=t2. Тогда , получим:
в). Если под интегралом содержится логарифмическая функция, то удобно принять ее за новую переменную, если под знаком интеграла присутствует производная этой функции (с точностью до постоянного множителя).
г).
д). За новую переменную удобно взять подкоренное выражение, если под интегралом присутствует также его производная с точностью до постоянного множителя.
е).
ж). Новая переменная иногда выбирается из следующих соображений: в знаменателе стоит разность постоянной и квадрата некоторой функции. Эту функцию мы принимаем за новую переменную, если в числителе присутствует ее производная (с точностью до постоянного множителя).
з). Подстановка выбирается аналогично предыдущему примеру.
и). За новую переменную иногда выбирают функцию, стоящую в основании степени, если подынтегральное выражение содержит производную этой функции с точностью до постоянного множителя.
к).
л).
м).
н).
Чтобы взять последний интеграл, умножим и разделим числитель на 9, затем вчислителе прибавим иотнимем единицу, после чего разобьем интеграл на два табличных:
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!