Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2018-01-30 | 245 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
При сведении интеграла к табличному часто используют метод интегрирования путем подведения под знак дифференциала. В данном случае используют следующую формулу:
,
где – функция, имеющая непрерывную производную на рассматриваемом промежутке.
Применяют также интегрирование методом подстановки.
Обозначим , тогда получим . Тогда
.
Подведение под знак дифференциала есть одна из реализаций метода замены переменной.
Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, а иногда свести его даже к табличному.
Примеры. Вычислить следующие интегралы:
1. .
1 способ.
.
2 способ.
.
2. .
1 способ.
.
2 способ.
.
3. .
1 способ.
.
2. способ.
.
4. .
1 способ.
.
2 способ.
.
Метод интегрирования по частям
Пусть функции и имеют непрерывные производные на заданном интервале, тогда справедлива формула интегрирования по частям:
.
Метод интегрирования по частям целесообразно применять в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен, при этом за берется та функция, которая при дифференцировании упрощается, а за берется та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.
Выделяют следующие типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:
1. , , , где - многочлен степени , – число.
При вычислении данных интегралов формулу применяют n раз, обозначив за .
2. , , , , .
При вычислении интегралов второго типа удобно обозначить за .
3. , , – числа.
В данном случае обозначают .
Примеры.
1.
2.
.
Иногда формулу интегрирования по частям приходится применять более одного раза.
|
Пример.
.
Интегрирование простейших рациональных дробей
1. Интегралы вида сводят к табличным заменой .
2. Интегралы вида разбиваются на сумму двух интегралов и . Первый решается заменой . А второй представляет собой табличный интеграл.
3. Интегралы вида решаются с помощью выделения полного квадрата в знаменателе
.
Аналогично решаются интегралы вида .
Интегрирование простейших видов иррациональностей
Пример. Вычислим интеграл .
Подынтегральная функция рациональным образом зависит от , поскольку её можно записать в виде
.
Сделаем замену :
.
Получили интеграл от рациональной дроби , которая является неправильной дробью, поскольку степень её числителя, равная 7, больше степени знаменателя, равной 1. Значит, нужно выделить в этой дроби целую часть. Для этого разделим числитель на знаменатель «столбиком» неправильная дробь представляется в виде
.
Теперь можно вычислить интеграл:
Определенный интеграл
Пусть функция определена и ограничена на и произвольное разбиение этого отрезка на элементарных отрезков. На каждом отрезке выберем точку . Тогда сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке .
Если предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует и конечен, то он называется определенным интегралом от функции в пределах от до и обозначается:
.
Определенный интеграл не должен зависеть от способа выбора точек и точек
Для вычисления определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница:
,
где любая первообразная функции на отрезке .
Таким образом, при вычислении определенного интеграла с использованием формулы Ньютона-Лейбница сначала, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят первообразную для подынтегральной функции , а затем вычисляют приращение первообразной на данном отрезке.
Примеры.
1.
2.
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!