Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2018-01-28 | 650 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля
Пусть ортонормированная система функций на отрезке
и пусть Обозначим через коэффициенты Фурье функции по ортонормированной системе :
Рассмотрим линейную комбинацию
|
принимает минимальное значение. Запишем его подробнее
|
Первые два слагаемых в первой части равенства (7) не зависят от , а третье слагаемое неотрицательно. Поэтому интеграл (*) принимает минимальное значение при . Интеграл
|
|
Равенство (9) называется тождеством Бесселя. Так как его левая часть неотрицательна, то из него следует неравенство Бесселя
|
т.е. для всякой функции ряд из квадратов коэффициентов Фурье этой функции по ортонормированной системе сходится.
Так как система
|
справедливое для любой функции с интегрируемым квадратом.
Если интегрируема, то в силу необходимого условия сходимости ряда в левой части неравенства (11) получаем, что .
|
Равенство Парсеваля
|
называется равенством Парсеваля-Стеклова (условием полноты).
Тождество Бесселя (9) позволяет записать условие (12) в равносильной форме
Тем самым выполнение условия полноты означает, что частичные суммы ряда Фурье функции сходятся к функции в среднем, т.е. по норме пространства .
Ортонормированная система называется полной в , если всякую функцию можно с любой точностью приблизить в среднем линейной комбинацией вида
с достаточно большим числом слагаемых, т.е. если для всякой функции и для любого найдется натуральное число и числа такие, что
Теорема №7
Если ортонормированная система полна в пространстве , то ряд Фурье всякой функции по этой системе сходится к в среднем, т.е. по норме .
Можно показать, что тригонометрическая система
полна в пространстве Отсюда следует утверждение.
Теорема №8
Если функция , то её тригонометрический ряд Фурье сходится к ней в среднем.
|
|
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!