Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2017-12-21 | 244 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Напомним, что полным приращением функции в точке
называют разность
Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:
где А, В – некоторые числа, независящие от , а α и β – бесконечно малые при
Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке , то: 1) она непрерывна в этой точке; 2) она имеет в этой точке конечные производ- ные, причем .
Доказательство первого утверждения сразу следует из (1) и замечания к §3. Для доказательства второго утверждения положим в (1) тогда Разделив обе части равенства на и устремляя к нулю, получим:
т. е.
Аналогично доказывается и
В отличие от функций одной переменной (для которых дифференциру-емость равносильна существованию конечной производной), для функций нескольких переменных из существования частных производных не следует непрерывность и дифференцируемость. Это доказывается следующим примеров.
Пример. Рассмотрим функцию
Вычислим производную по в начале координат:
.
Аналогично В то же время эта функция не является непрерывной (а следовательно, является недифференцируемой) в начале координат, ибо ее предел в этой точке не существует (см. пример 2 §3).
Таким образом, функция имеет конечные производные в точке , но не является непрерывной в этой точке. Эта ситуация связана с тем, что существование частных производных в точке определяется поведением функции на прямых а непрерывность зависит от поведения функции во всей окрестности точки М 0.
Примем без доказательства теорему, устанавливающую достаточные усло-вия дифференцируемости.
Теорема 2. Если функция имеет частные производные в некото-рой окрестности точки и эти производные непрерывны в самой точке , то функция дифференцируема в точке .
|
Определение 2. Главная часть полного приращения дифференцируемой функции, линейная относительно приращений аргументов, называется полным дифференциалом функции и обозначается символом :
Если договорится считать дифференциалами независимых переменных их приращения, то формула (2) примет вид:
Обозначим: это расстояние между точками и . Очевидно, что стремление к нулю равносильно одновременному стремлению к нулю приращений и . Формулу (1) можно теперь переписать в виде
Отсюда при малых и получим приближенную формулу
,
которая используется в приближенных вычислениях.
Замечание. С геометрической точки зрения, дифференцируемость функции в точке означает наличие касательной плоскости к графи-ку функции в точке (см. ниже §8).
Производные сложных функций
Приведем без доказательства ряд формул дифференцирования сложных функций. Все встречающиеся функции одной или нескольких переменных считаем дифференцируемыми.
1. Если то
2. Если , а то для сложной функции одной переменной z (u (x), v (x))имеем
или используя другие обозначения,
В частности, если а , то
В этом случае производную называют полной производной, в отличие от – частной производной.
3. Если , а и , то для сложной функции двух переменных имеем:
(3)
Замечание 1. Формулы (1), (2), (3) легко обобщаются на случай функций трех и более переменных.
Замечание 2. Формулы (1), (2), (3) необходимы в теории для получения других важных результатов. На практике в случае конкретных функций нетрудно исключить зависимость функции от промежуточных переменных. Например, если
а и , то как функция имеет вид
|
|
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!