Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-12-13 | 758 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке . Если же, кроме того, функция непрерывна в точке а справа, а в точке – слева, то функция называется непрерывной на отрезке .
Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех внутренних точках , за исключением конечного числа точек, в которых она имеет разрывы первого рода, а в точках а и имеет соответствующие односторонние пределы.
Монотонность и непрерывность. Будем считать, что функция задана на отрезке .
Утверждение 1. Монотонная на отрезке функция может иметь точки разрыва только первого рода.
Согласно этому утверждению, множество значений монотонной функции будет отрезком в том и только в том случае, если – непрерывная функция на отрезке .
Утверждение 2 (об устойчивости знака непрерывной функции). Пусть функция непрерывна в точке и . Тогда существует -окрестность точки , такая, что в этой окрестности функция имеет тот же знак, что и .
Геометрический смысл этого утверждения состоит в том, что, если функция непрерывна в точке и отлична в ней от нуля, то некоторая часть графика этой функции, проходящая через точку , не пересекает ось (рис. 1).
Теорема 1 (первая теорема Больцано-Коши). Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка , в которой .
Геометрический смысл этой теоремы также очевиден. Поскольку функция непрерывна на отрезке, то ее график состоит из одного «сплошного» куска. Эта кривая соединяет точки , , одна из которых лежит ниже оси Ox, вторая – выше оси Ox. Следовательно, существует точка с на оси Ox, в которой график пересекает ось Ox (рис. 2).
|
Теорема 2 (вторая теорема Больцано-Коши). Пусть функция непрерывна на отрезке , причем . Тогда, если С – любое число, лежащее строго между и , то существует точка , такая, что .
Другими словами, непрерывная на отрезке функция принимает любое свое промежуточное значение.
Геометрический смысл этой теоремы показан на рис. 3.
Теорема 3 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена.
Таким образом, если функция непрерывна на отрезке , то существует число такое, что
Заметим, что если в теореме 3 вместо отрезка рассматривать интервал или какой-либо полуинтервал, то функция может быть и неограниченной, т. е. в этом случае утверждение об ограниченности несправедливо. Например, функция непрерывна на полуинтервале , но не ограничена на нем.
Теорема 4 (вторая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на отрезке функция достигает в некоторых точках отрезка своих точных верхней и нижней границ, т.е. существуют точки и , принадлежащие , для которых имеет место
, .
Таким образом, для всех .
Поскольку непрерывная на отрезке функция достигает в некоторых точках своих точных верхней и нижней границ, то можно называть точную верхнюю границу максимальным значением функции, а точную нижнюю границу – ее минимальным значением на отрезке .
41. Обратная функция и её непрерывность.
Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.
Имеет место следующая
Теорема 1. Если функция непрерывна и монотонна на отрезке , то на множестве ее значений существует монотонная, непрерывная обратная функция.
Функции , обратные функциям , в силу названного свойства непрерывны при всех значениях , при которых эти функции определены.
Пример 1. Функция непрерывна и монотонна на отрезке . Образом этого отрезка, посредством функции , является отрезок . На основании приведенного свойства существует определенная на отрезке , обратная к функции , непрерывная возрастающая функция .
|
Для функции , рассматриваемой на всей действительной оси, не существует обратной функции, так как , , т.е. каждому соответствует множество значений , определяемых указанной формулой. □
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!