История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2017-12-13 | 226 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
В предыдущих пунктах 1.1 – 1.6 построены три числовые знаковые системы:
- система натуральных чисел N, предназначенная для реализации интеллектуальной функции перечисления объектов;
- система рациональных чисел Q, в которой реализуются арифметические операции;
- система действительных чисел R, которая даёт возможность как измерять протяжённости, так и реализовывать арифметические операции.
Напомним, что согласно определению Л. Эйлера знаковая система образует язык, если позволяет реализовать следующие три интеллектуальные функции. Сформировать образ – реализация опорной функции; построить умозаключение или, что то же, отследить смысл – логическая функция; реализовать эти две функции в виде высказывания – коммуникационная функция.
Несложно убедиться в том, что все три упомянутые числовые системы позволяют реализовать указанные функции. Поэтому можно заключить, что натуральный ряд – это язык счёта, рациональные числа – язык арифметики и, наконец, действительные числа – это язык измерений и арифметики одновременно.
Отметим некоторые свойства этих языковых систем.
1. Свойство оптимизации интеллектуальной деятельности. Действительно, эти языки построены с целью оптимизации интеллектуальных функций счёта, вычислений и измерений.
2.Язык натуральных чисел является простейшим среди всех языковых систем. Это следует из того, что любой язык среди прочих интеллектуальных функций реализует и функцию перечисления объектов. Язык натурального ряда реализует только функцию перечисления.
Рассматривая задачу измерения отрезков прямой действительными числами, мы установили взаимно-однозначное соответствие между множеством точек прямой и множеством действительных чисел в десятичном представлении. Это позволяет визуализировать арифметические операции, изображая результаты сложения, вычитания и деления отрезков прямой. Так, например, сумму двух действительных чисел p + можно вычислить с любой степенью точности в десятичной системе, а можно и изобразить как суммарный отрезок, используя построения в задачах 1 и 2 из п.1.4. При этом результат суммы в одной из этих реализаций будет соответствовать результату суммы в другой реализации. То же можно сказать и об операциях вычитания, умножения и деления.
|
Взаимно-однозначное соответствие между множествами, которое сохраняет результат операций на этих множествах называется изоморфизмом.
Учитывая это понятие изоморфизма, мы устанавливаем следующее свойство.
Десятичная (и вообще, любая k-ичная) знаковая реализация действительных чисел изоморфна геометрической реализации действительных чисел в виде отрезков прямой.
Это свойство является простейшей демонстрацией удивительной способности человеческого интеллекта представлять свои чувства в числовом формате.
1.8 Вопросы и задания к теме «числовые системы».
Вопросы.
1. Какую роль играет аксиома индукции в аксиоматике натурального ряда Д. Пеано?
2. Объясните, почему языка рациональных чисел не достаточно для реализации процессов измерения отрезков?
3. Какую роль играет аксиома Архимеда в аксиоматике рациональных чисел?
4. Какие интеллектуальные задачи реализуют языки натуральных, рациональных и действительных чисел?
5. Какую роль играет аксиома о вложенных промежутках в аксиоматике действительных чисел и как строится взаимно-однозначное соответствие между действительными числами и точками евклидовой прямой?
6. Используется ли в практической деятельности человека полная модель действительных чисел, или для практических нужд достаточно рациональных чисел? Почему?
Задания.
1. Покажите, что системы натуральных, рациональных и действительных чисел независимо от выбора знаковой реализации являются языковыми системами в смысле Л. Эйлера.
|
2. Как можно представить «слова» и «предложения» в языке рациональных чисел, действительных чисел? Приведите пример текстового формата в этих языках.
3. Постройте изоморфизм между реализацией действительных чисел в десятичной системе и геометрической реализацией в виде отрезков евклидовой прямой.
(Указание: задать единичный отрезок на евклидовой прямой, а операции умножения и деления определить как порции этого отрезка; использовать алгоритм построения рациональных чисел циркулем и линейкой на евклидовой прямой.)
4. Покажите, что реализации действительных чисел в виде k -ичных систем изоморфны для различных k = 2, 3, …, n.
5. Как связаны аксиома Кантора «о вложенных отрезках» на евклидовой прямой и аксиома о вложенных промежутках в аксиоматике действительных чисел?
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!