Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-12-13 | 255 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Пусть функция определена и непрерывна на [ a;b ]. Вычислим площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью OX и прямыми и . Разобьем отрезок [ a;b ] на n произвольных частей точками так, чтобы .Через отмеченные точки проведем прямые, параллельные оси ординат, и получим на каждом отрезке криволинейную трапецию. При этом площадь всей криволинейной трапеции будет равна сумме площадей маленьких криволинейных трапеций. На каждом отрезке выберем точку и значение функции в этой точке. На отрезке строим прямоугольник высоты , площадь которого = . Площадь этого прямоугольника примерно равна площади маленькой криволинейной трапеции.
Найдем сумму площадей всех прямоугольников. Эта сумма имеет вид и называется интегральной. Она зависит от способа разбиения отрезка [ a;b ] на участки и от выбора точки на каждом участке разбиения. Интегральная сумма приближенно описывает площадь криволинейной трапеции.
Точное значение площади криволинейной трапеции мы получим, если найдем предел интегральной суммы при и при условии, что диаметр максимального разбиения стремится к нулю, то есть .
Определение. Определенным интегралом функции на [ a;b ] называется предел вида .
Если предел конечен, то называется интегрируемой на [ a;b ]. Этот предел не зависит от способа разбиения [ a;b ] на участки и не зависит от выбора точки на каждом участке разбиения и обозначается , где a - нижний предел интегрирования, b - верхний предел интегрирования.
Геометрический смысл определенного интеграла.
численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком и прямыми .
Свойства определенного интеграла.
1)
2) , k=const
3)
4) , если - свойство аддитивности интеграла по мере
5) Интеграл от неотрицательной функции на [ a;b ] - неотрицательное число, то есть: если на [ a;b ], то - свойство знакопостоянства.
6) Если , то .
7) при a<b.
8) .
9)
Теорема о среднем значении определенного интеграла.
Рассмотрим функцию интегрируемую на [ a;b ].
Теорема 1. Пусть функция на [ a;b ] удовлетворяет условию , тогда .
Доказательство. Если , то по свойству 6 . Используя свойство 2 и 9 соответственно получим, что и .
Теорема 2. Пусть функция интегрируема на [ a;b ] и на этом отрезке выполняется неравенство , тогда существует число , для которого .
Доказательство. Из теоремы 1 следует , получим . В качестве возьмем число
, тогда .
Следствие из теоремы 2.
Если непрерывна на [ a;b ], то существует точка , для которой выполняется равенство , то есть площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника со сторонами и .
Лекция 12. Основная формула интегрального исчисления.
Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования и его свойства.
Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!