Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2017-12-13 | 436 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Для определенности будем рассматривать несобственные интегралы 2-го рода вида = . Установленные ниже утверждения легко переносятся на несобственные интегралы 2-го рода вида = и = + .
Теорема 1. Пусть с – любое число, удовлетворяющее условию a<c<b. Тогда несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство. Возьмем произвольное число b, удовлетворяющее условию с<b<b. Имеем = + (4)
1) Пусть сходится Þ существует конечный предел . Но тогда из (4) Þ, что существует конечный предел Þ сходится.
2) Пусть сходится Þ существует конечный предел . Но тогда из (4) Þ, что существует конечный предел Þ сходится.
В случаях 1) и 2) будем имеем: = + .
3) Пусть расходится. Покажем, что и расходится.
Допустим, что сходится. Тогда по пункту 1) должен сходится и . Получили противоречие.
4) Пусть расходится. Покажем, что и расходится.
Допустим, что сходится. Тогда по пункту 1) должен сходится и . Получили противоречие. Ч.т.д.
Теорема 2. Если f(x)³0 хотя бы для xÎ[с;b) (а£с<b), то для сходимости интеграла (а значит и интеграла ) необходимо и достаточно, чтобы существовало число K>0 такое, что £К, для любого bÎ(с;b).
Доказательство. Интеграл =j(b), т.е. представляет собой функцию от b, возрастающую с увеличением b. Для существованию конечного предела у функции j(b) при b®b-0 необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху, т.е. чтобы существовало число K>0 такое, чтобы j(b)= £К, для любого bÎ(с;b). Ч.т.д.
Теорема 3 (1-й признак сравнения несобственных интегралов).
Пусть хотя бы для хÎ[с;b) (а£с<b) функции f(x) и g(x) удовлетворяют условию 0≤f(x)≤g(x). Тогда:
1) из сходимости интеграла (5) следует сходимость интеграла (6)
|
2) из расходимости интеграла следует сходимость интеграла .
Доказательство. Возьмем произвольное число b, такое, что с<b<b
Тогда 0£ £ (7).
1) Пусть сходитсяÞ сходитсяÞ существует число K>0 такое, что £К "bÎ(с;b). Но тогда из (7) следует, что £К "bÎ(с;b). Þпо теореме 2: - сходитсяÞ - сходится.
2) Пусть - расходится. Нужно доказать, что расходится и . Допустим противное, что сходится. Тогда по пункту 1) должен сходится и . Получили противоречие. Ч.т.д.
Теорема 4. (б.д.) (2-й признак сравнения). Пусть f(x)>0 и g(x)>0 хотя бы для хÎ[с;b) (а£с<b). Пусть существует конечный, отличный от нуля предел
l= (l¹0, l¹¥).
Тогда интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
Для применения теорем 3 и 4 требуется знание некоторой «эталонной» функции g(x). Часто в этой роли выступает функция g(x)= (р>0, xÎ[a,b), a<b).
Пример. Исследуем на сходимость интеграл .
1) Пусть р<1. Тогда
= = Þ = Þ
Þ сходится при р<1.
2) Пусть р=1. Тогда = =ln(b-a)-ln(b-b)Þ =+¥Þ
Þ расходится при р=1.
3) Пусть р>1. Тогда
= = Þ =+¥Þ
Þ расходится при р>1.
Пример. Исследовать на сходимость интеграл I= .
Подынтегральная функция разрывна в точке х=0.
< , здесь р= <1, следовательно сходится. Значит сходится и интеграл от меньшей функции, т.е. .
Пример. Исследовать на сходимость интеграл I= .
f(x)= определена в промежутке [0,1] всюду, за исключением точек х=0 и х=1. (эти точки – особые). Представим I в виде суммы двух интегралов:
I= + =I1+I2.
Рассмотрим I1= . У этого интеграла 1 особая точка х=0. Имеем
= = - ¥Þ f(x) неограниченная в правой полуокрестности точки х=0. Значит I1 – несобственный интеграл 2-го рода.
Т.к. f(x)= ~ln x при х®+0, то в качестве функции g(x) возьмем g(x)=ln x. Тогда = = =1.
Следовательно, несобственные интегралы и в смысле сходимости ведут себя одинаково.
= = = =
= - = -0= .
Т.о. сходится. Значит и I1 сходится.
Рассмотрим I2= . У этого интеграла 1 особая точка х=1. Имеем
= = = = Þ f(x) ограниченная в промежутке . Положим
|
Функция ограничена на Þ существует. Следовательно, I2= сходится.
Т.к. несобственные интегралы I1 и I2 сходятся, то сходится и интеграл I= .
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!