Вычисление тройного интеграла

 

1. Вычисление тройного интеграла сведением к повторному

Пусть функция f (x; y; z) непрерывна в некоторой области (V). Пусть поверхность (S), ограничивающая тело (V), пересекается не более чем в двух точках любой прямой, параллельной одной из осей координат (например O z). Более сложные области сводятся к рассматриваемой путем разбиения на части.

Опишем около тела (V) цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси O z. Пусть (P_z) - проекция тела (V) на плоскость XOY. Линия касания этой цилиндрической поверхности с поверхностью (S) разбивает (S) на две части: верхнюю и нижнюю. Пусть нижняя часть поверхности задана уравнением z = z ₁(x; y), а верхняя – уравнением z = z ₂(x; y), где z ₁(x; y), z ₂(x; y) - однозначные непрерывные функции, заданные на (P_z). Тогда сводится к последовательному взятию внутреннего интеграла по переменной z (при постоянных x и y) и внешнего двойного интеграла по области (P_z):

Предположим теперь, что область (P_z) тоже имеет простую форму, то есть любая прямая, параллельная оси O y, пересекает контур области (P_z) не более, чем в двух точках. Через a и b обозначим абсциссы самой левой и самой правой точек на контуре области (P_z). Эти точки делят контур на две части, на одной из которых прямые параллельные оси O y входят в область (P_z), а на другой – выходят. Каждая из этих частей имеет свое уравнение. Первая: y = y ₁(x), вторая: y = y ₁(x) (a £ x £ b). В этом случае

,

то есть тройной интеграл сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Порядок интегрирования может быть другим. Для этого тело (V) надо проектировать на плоскость XOZ или YOZ. Например, спроектируем на XOZ, (Р_у) - проекция на XOZ. Тогда

= =

.

Пример 1. Вычислить , где (V) - тетраэдр, ограниченный плоскостями x= 0, y= 0, z= 0 и x+y+z= 1.

D Спроектируем телона плоскость XOY. Проекция P - треугольник со сторонами x= 0, y= 0, x+y= 1. Если x и y – фиксированные, то точка может перемещаться от плоскости z =0 (XOY)до плоскости x+y+z= 1. Отсюда z= 1 -x-y. Итак, если (x; y)Î(V), то изменяется от 0 до . Следовательно, .

Сведем двойной интеграл к повторному.

Если - фиксировано (0£ х £1) то может изменяться от прямой (ось О х) до прямой y + x =1 (y =1 -x). Следовательно,

. D

2. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

Как и для двойного интеграла, для тройного интеграла имеют место формулы перехода от прямоугольных координат к новым системам координат. Наиболее употребительные из них – цилиндрические и сферические.

I. Цилиндрические координаты

Пусть M ₁ - проекция точки M на плоскость XOY, r=OM ₁- полярный радиус точки M ₁, q=ÐxOM ₁- полярный угол точки M ₁, z – аппликата точки M. r, q, z называются цилиндрическими координатами точки M. . Обозначается M (r; q; z).

Связь с x, y, z: x=r cos q, y=r sin q, z=z.

Следовательно, преобразование тройного интеграла к цилиндрическим координатам происходит так же, как и преобразование двойного интеграла к полярным координатам.

Формула перехода к цилиндрическим координатам в тройном интеграле:

.

Если положить f (x; y; z)=1 всюду в (V), то

- объем тела (V) в цилиндрических координатах.

Выражение называется элементом объема в цилиндрических координатах.

Пример 2. Вычислить объем кругового цилиндра высоты H с радиусом основания R.

D Поместим начало системы координат в центр нижнего основания конуса. Тогда 0£ r £ R, 0£ q <2 p, 0£ z £ H.

.

(известная формула элементарной геометрии). D

Пример 3. Вычислить объем тела, ограниченного сферой и параболоидом .

D Найдем проекцию линии пересечения сферы и параболоида на плоскость XOY. Для этого из уравнений выразим и решим систему:

,

,

или - не удовлетворяет условию .

Следовательно, линией пересечения поверхностей является окружность , при этом .

Т.к. тело симметрично относительно плоскостей XOY и YOZ, то можно вычислить объем тела , лежащего в I октанте и умножить на 4. Тогда .

Так как проекция тела на плоскость XOY – круг, то следует перейти к цилиндрическим координатам: x=r cos q, y=r sin q, z=z.

Преобразуем уравнения границ:

,

.

Уравнения границы проекции: .

Итак, в области : . Следовательно,

=

. D

II. Сферические координаты

Сферическими координатами точки называются: ОМ=r - расстояние от точки до начала координат, j = ÐxOM ₁ - угол между O x и проекцией отрезка на плоскость XOY, q = ÐzOM - угол между осью O z и отрезком OM: М (r; j; q), r ³0, 0£ j <2 p, 0£ q £ p.

Связь с прямоугольными координатами:

z = r cos q (из D zOM),

OM ₁= r sin q (из D zOM, zM=OM ₁),

x = OM ₁cos j Þ x = r sin q cos j (из D xOM ₁),

y = OM ₁sin j Þ y = r sin q sin j (из D xOM ₁, xM ₁=O y).

Итак, x = r sin q cos j, y = r sin q sin j, z = r cos q.

. (Вычислить самостоятельно.)

Формула перехода в тройном интеграле к сферическим координатам:

.

Если положим здесь f (x; y; z)=1 всюду в (), то получим

- объем тела (V) в сферических координатах.

Выражение называется элементом объема в сферических координатах.

Пример 4. Вычислить объем шара радиуса R.

D Поместим начало системы координат в центр шара. Тогда 0£ r£R, 0£ q <2 p, 0£ q £ p.

.

(известная из элементарной геометрии формула). D