Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-12-12 | 219 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
· ОДУ первого порядка, разрешённое относительно производной
· Система n ОДУ первого порядка, разрешённая относительно производных (нормальная система n -го порядка)
· ОДУ n -го порядка, разрешённое относительно старшей производной
Теоремы о разрешимости задачи Коши для ОДУ
Пусть в области рассматривается задача Коши:
где . Пусть правая часть является непрерывной функцией в . В этих предположениях имеет место теорема Пеано, устанавливающая локальную разрешимость задачи Коши: Пусть a>0 и b>0 таковы, что замкнутый прямоугольник
принадлежит области D, тогда на отрезке [ x 0 − α, x 0 + α], где α = min{ a, b / M }, , существует решение задачи Коши.
Указанный отрезок называется отрезком Пеано. Заметим, что, локальный характер теоремы Пеано не зависит от гладкости правой части. Например, для f (x, y) = y 2 + 1 и для x 0 = 0, y 0 = 0 решение y (x) = tan(x) существует лишь на интервале (− π,π). Также отметим, что без дополнительных предположений относительно гладкости правой части, нельзя гарантировать единственность решения задачи Коши. Например, для возможно более одного решения.
Чтобы сформулировать теорему о единственности решения задачи Коши, необходимо наложить дополнительные ограничения на правую часть. Будем говорить, что функция f(x,y) удоволетворяет условию Липшица на D относительно y, если существует постоянная L такая, что
для всех , i=1,2.
Пусть правая часть f(x,y) дополнительно удовлетворяет условию Липшица на D относительно y, тогда задача Коши не может иметь в D более одного решения.
Также отметим, что хотя эта теорема имеет глобальный характер, тем не менее она не устанавливает существование глобального решения.
|
Для существования глобального решения необходимо наложить условия на рост правой части по y: пусть функция f удовлетворяет условию
где A>0 - константа не зависящая ни от x, ни от y, тогда задача Коши имеет решение в D. В частности, из этой теоремы следует, что задача Коши для линейных уравнений (с непрерывными по x коэффициентами) имеет глобальное решение.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для номального уравнения первого порядка.
Нормальная система в векторных обозначениях примет вид
где .
Определение. Вектор-функция называется решением нормальной системы (1) на промежутке , если:
1.
2.
3.
Рассмотрим начальное условие
Точка (x 0, y 0) называется начальной точкой, а ее координаты x 0, y 0 называются начальными данными.
Определение. Задача нахождения решения нормальной системы (1), удовлетворяющего начальному условию (2), называется задачей Коши.
Система уравнений вида
где , назыается системой интегральных уравнений.
Вектор-функция называется решением на промежутке системы (3), если:
1.
2.
3.
Лемма об эквивалентности. Вектор-функция - решение задачи Коши (1) при условии (2) тогда и только тогда, когда решение системы интегральных уравнений (3).
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!