Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-12-10 | 134 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Одним из основных методов решения уравнений высших порядков является понижение порядка уравнения, т.е. сведение его с помощью соответствующей замены к дифференциальному уравнению более низкого порядка.
Рассмотрим некоторые типы уравнений, допускающих понижение порядка.
I тип. Уравнение вида .
Заметим, что уравнение не содержит и . Уравнения этого вида решаются двукратным интегрированием. Введем новую функцию , полагая . Тогда , и уравнение превращается в уравнение первого порядка: .
Решая его, находим, что . Так как , то .
Интегрируя еще раз, получаем искомое решение:
,
где и - произвольные постоянные.
Пример 2 Найти общее решение уравнения
Решение: Положим ; тогда .
Получаем уравнение первого порядка . Интегрируя его, найдем или .
Интегрируя второй раз, находим искомое общее решение:
,
т.е. .
Замечание
Аналогичным способом решение уравнения вида находится методом - кратного интегрирования.
II тип. Уравнение вида , т.е. уравнение не содержит явным образом .
Положим, как и в предыдущем случае, . Тогда , и уравнение преобразуется в уравнение первого порядка относительно неизвестной функции . Решая его, находим общее решение .
Так как , то имеем уравнение . Отсюда, интегрируя еще раз, получаем искомое решение ,
где и - произвольные постоянные.
Пример 3 Найти общее решение уравнения .
Решение: Полагая , получаем линейное уравнение первого порядка . Решаем его с помощью подстановки Бернулли :
.
Отсюда имеем:
Решаем сначала первое уравнение системы:
.
Подставляя во второе уравнение системы, получим:
.
Следовательно, . Тогда .
Интегрируя еще раз, находим искомое общее решение: .
|
Замечание
Аналогичным способом можно решать уравнение .
Полагая , получим для определения уравнение первого порядка . Решая это уравнение, находим его общее решение . Затем из соотношения находим путем - кратного интегрирования.
III тип. Уравнение вида , т.е. уравнение не содержит явным образом .
Для его решения вводим новую функцию , полагая , т.е. будем считать, что есть функция от (а не от , как прежде). Тогда по теореме о производной сложной функции имеем:
.
Подставляя в уравнение выражения для и , получаем уравнение первого порядка относительно как функции от :
.
Решая его, найдем . Так как , то . Разделяя переменные, получим .
Интегрируя это уравнение, находим общее решение данного уравнения:
,
где и - произвольные постоянные.
Пример 4 Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: .
Решение: Полагая и учитывая, что , получаем .
Отсюда или ,или .
В первом случае , т.е. . Но это решение не удовлетворяет начальным условиям. Во втором случае, из следует , т.е. . Учитывая, что и начальное условие , получаем . Поэтому имеем или . Разделяя переменные, будем иметь или . Отсюда .
Из начального условия находим, что . Таким образом, искомое решение задачи Коши есть функция
.
Задания для самостоятельного решения
Найти общие решения уравнений:
1) ,
2) ,
3) ,
4) ,
5) ,
6) ,
7) ,
8) ,
9) ,
10) ,
11) ,
12) .
Найти частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям:
13) , , ;
14) , , ;
15) , , .
|
|
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!