Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-11-27 | 445 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Лекция №9
Кривые второго порядка. Окружность
(1) – общее уравнение второй степени относительно x и y, где A, B, C, D, E, F Î R и A, B, C одновременно не равны 0.
def. Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат.
Кривыми второго порядка являются: эллипс (частный случай – окружность); гипербола; парабола.
def. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.
R |
у |
C |
0 |
x |
M |
C (a; b) – центр окружности,
M(x; y) – произвольная точка окружности,
.
(2) – уравнение окружности с центром в т. C (a; b) и
радиусом R.
Частный случай:
– уравнение окружности с центром в т. O (0;0) и радиусом R.
Раскроем скобки в уравнении (2): Þ
.
Обозначим ; ; .
– уравнение второй степени относительно x и y.
Его особенности: .
Обратно, если в (1) , то (1) определяет окружность.
Пример2.1. Дано уравнение . Доказать, что это уравнение определяет окружность. Найти центр и радиус.
§
I. Определение эллипса. Вывод канонического уравнения.
def.
2с |
до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Обозначим – фокусы,
M |
М – производная точка эллипса.
2а – постоянная величина, равная сумме расстояний от М до .
=const=2 a (1)-
по определению эллипса.
2a>2c Þ a>c.
М (x;y) |
х |
у |
|
М (x; y) – произвольная точка эллипса,
(c;0), (– c;0) – фокусы эллипса.
(2) – уравнение эллипса в выбранной системе координат.
Упростим данное уравнение: .
Возведем обе части в квадрат:
Þ
.
Разделим обе части на (-4): .
Возведем обе части в квадрат:
Þ
.
Разделим обе части на : .
. Обозначим:
(3) – каноническое уравнение эллипса, где .
II. График эллипса
1. Симметрия
Из (3) получим, что эллипс имеет две оси симметрии – ось Ox и ось Oy; и центр симметрии – начало координат O (0;0).
2. Вершины эллипса
Вершины эллипса – точки пересечения эллипса с осями симметрии,
B 2 |
B 1 |
A 2 |
A 1 |
F 2 |
F 1 |
3. График эллипса .
Итак, – вершины эллипса, – фокусы эллипса.
def.
2с |
III. Эксцентриситет эллипса
def. Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси . (4)
Поскольку , то .
Выясним, как влияет величина e на форму эллипса.
; разделим на : , .
, то , т.е. почти равны.
, то и эллипс превращается в окружность.
, то , т.е. , эллипс вытягивается (вдоль Ox).
Чем больше e, тем более эллипс вытянут вдоль Ox.
Планеты и кометы движутся по эллипсам. В одном из фокусов эллипса находится Солнце. Эксцентриситеты планетных орбит малы, а кометных велики (). Планеты движутся почти по окружности, а кометы то приближаются к Солнцу, то удаляются. ; ; =0,97.
Замечание. Фокальные радиусы
, = – фокальные радиусы.
Пример 3.1. Дано уравнение эллипса 16 .
1) Привести к каноническому виду; 2)найти длину осей;3) координаты фокусов; 4) эксцентриситет;5) построить график.
|
Пример 3.2. Эллипс проходит через точку M (-4; ) и имеет . Найти каноническое уравнение эллипса.
II. График гиперболы
1. Симметрия
Гипербола имеет две оси симметрии – ось Ox и ось Oy, и центр симметрии – начало координат O (0;0).
2. Вершины. Действительные и мнимые оси
Вершины гиперболы – это точки пересечения гиперболыс осями симметрии, т.е. с осью Ox и осью Oy.
С осью Ох: у =0 , .
С осью Оу: х =0 нет действительных корней, гипербола не пересекается с Оу.
Итак, две вершины: и .
def. Отрезок А 1 А 2 и его длина 2 а называется действительной осью гиперболы.
Возьмем на оси Оу две точки и .
def. Отрезок В 1 В 2 и его длина 2 b называется мнимой осью гиперболы.
а – действительная полуось, b – мнимая полуось гиперболы.
3.
М |
l |
def. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки М вдоль кривой в бесконечность.
Гипербола имеет две асимптоты:
, – уравнение асимптот гиперболы.
4. График гиперболы .
1) Построить (характеристический) прямоугольник со сторонами, параллельными осям Ох и Оу и проходящими на оси Ох на расстоянии а от точки О (0;0) по обе стороны, на оси Оу – на расстоянии b.
2) Провести асимптоты гиперболы по диагоналям прямоугольника.
3)
F 2 |
–c |
F 1 |
c |
х |
a |
у |
0 |
b |
B 1 |
–b |
B 2 |
A 2 |
A 1 |
–a |
А 1, А 2– вершины гиперболы, – фокусы гиперболы.
I. Параллельный перенос
На плоскости введена прямоугольная система координат Oxy. Перенесем точку O в точку и построим новую систему координат , причем , направления осей совпадают, единицы масштаба одинаковые.
Y |
Y |
01 |
X |
x |
0 |
a |
x |
X |
b |
y |
y |
M |
|
Говорят, что выполнен параллельный перенос осей координат,
причем точка имеет координаты (a, b) в системе Oxy.
M – произвольная точка плоскости.
M (x, y) – в старой системе координат Oxy.
M (X, Y) – в новой системе координат .
(a, b) – координаты точки в старой системе координат.
Справедливы формулы:
X = x - aY = y - b |
x = X + ay = Y + b |
- формулы, выражающие старые координаты через новые.
Эти формулы называются формулами параллельного переноса.
(2)
определяют параболу с вершиной в точке (a, b).
Действительно, с помощью формул параллельного переноса:
получим: (1) Þ ,
(2) Þ –
параболы с вершиной в новом начале координат .
Осью симметрии параболы (1) является прямая .
L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAlYweAccA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESPzWvCQBTE70L/h+UVetNNQ1slZhUJSEXagx8Xb8/s ywdm36bZrab9611B8DjMzG+YdN6bRpypc7VlBa+jCARxbnXNpYL9bjmcgHAeWWNjmRT8kYP57GmQ YqLthTd03vpSBAi7BBVU3reJlC6vyKAb2ZY4eIXtDPogu1LqDi8BbhoZR9GHNFhzWKiwpayi/LT9 NQrW2fIbN8fYTP6b7POrWLQ/+8O7Ui/P/WIKwlPvH+F7e6UVxOM3uJ0JR0DOrgAAAP//AwBQSwEC LQAUAAYACAAAACEA8PeKu/0AAADiAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNd LnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQAx3V9h0gAAAI8BAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC4BAABfcmVscy8u cmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAAQAAAAAAAAAAAAAAAAACkCAABkcnMvc2hh cGV4bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAJWMHgHHAAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAmAIAAGRy cy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPUAAACMAwAAAAA= " filled="f" stroked="f" strokeweight=".5pt">
O1 |
a |
y |
x |
b |
0 |
O1 |
a |
y |
x |
b |
|
Пример 6.1. Найти координаты вершины параболы, построить график:
а) ; б) .
Замечание 2. Если в уравнениях эллипса и гиперболы заменить х и у соответственно на и , то полученные уравнения будут определять те же линии, но со смещенным центром (вместо будет ).
II. Поворот осей координат
На плоскости задана прямоугольная система координат Oxy. Повернем координатные оси на угол α, не меняя начала координат. Получим новую систему координат OХУ.
М – произвольная точка плоскости,
L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEA9gox78QA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbERPTWvCQBC9F/oflhF6qxsDLZK6igSCIvUQ66W3MTsm wexsml2T1F/fFYTe5vE+Z7EaTSN66lxtWcFsGoEgLqyuuVRw/Mpe5yCcR9bYWCYFv+RgtXx+WmCi 7cA59QdfihDCLkEFlfdtIqUrKjLoprYlDtzZdgZ9gF0pdYdDCDeNjKPoXRqsOTRU2FJaUXE5XI2C XZrtMT/FZn5r0s3ned3+HL/flHqZjOsPEJ5G/y9+uLc6zI9iuD8TLpDLPwAAAP//AwBQSwECLQAU AAYACAAAACEA8PeKu/0AAADiAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnht bFBLAQItABQABgAIAAAAIQAx3V9h0gAAAI8BAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC4BAABfcmVscy8ucmVs c1BLAQItABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAAQAAAAAAAAAAAAAAAAACkCAABkcnMvc2hhcGV4 bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAPYKMe/EAAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAmAIAAGRycy9k b3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPUAAACJAwAAAAA= " filled="f" stroked="f" strokeweight=".5pt">
M |
Y |
Y |
X |
y |
x |
α |
x |
y |
X |
координат Оху,
M (X; Y) – в новой системе
координат OXY.
Тогда (3) –
формулы поворота координатных осей.
III. Общий случай преобразования координат
Пусть на плоскости заданы две декартовы прямоугольные системы координат Oxy и O1XY с разным началом и разными направлениями осей.
x' |
α |
01 |
X |
y' |
y |
Y |
a |
b |
x |
О 1(а, b)-координаты О 1 в системе координат Oxy,
α – угол, который образует ось O 1 X c осью Ox.
Возьмем т. М. М (x; y) – в координатной плоскости Oxy,
M (X; Y)– в координатной плоскости O1ХУ.
Введем промежуточную систему координат O 1 , где O1 Ox, O1 Oy.
Переход от Oxy к O 1 XY осуществляется за два шага:
α+ b |
Тогда
Лекция №9
Кривые второго порядка. Окружность
(1) – общее уравнение второй степени относительно x и y, где A, B, C, D, E, F Î R и A, B, C одновременно не равны 0.
def. Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат.
Кривыми второго порядка являются: эллипс (частный случай – окружность); гипербола; парабола.
def. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.
R |
у |
C |
0 |
x |
M |
C (a; b) – центр окружности,
M(x; y) – произвольная точка окружности,
.
(2) – уравнение окружности с центром в т. C (a; b) и
|
радиусом R.
Частный случай:
– уравнение окружности с центром в т. O (0;0) и радиусом R.
Раскроем скобки в уравнении (2): Þ
.
Обозначим ; ; .
– уравнение второй степени относительно x и y.
Его особенности: .
Обратно, если в (1) , то (1) определяет окружность.
Пример2.1. Дано уравнение . Доказать, что это уравнение определяет окружность. Найти центр и радиус.
§
|
|
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!