Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-11-22 | 279 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Последовательность называется фундаментальной или последовательностью Коши, или последовательностью, сходящейся в себе, если N: n>N, p-натурального следует, что
(или )
Теорема (Критерий Коши). Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной.
Пример. Используя критерий Коши можно доказать, что последовательность (-1) n не имеет предела. Очевидно, что , поэтому если выбрать = 1, то получим отрицание утверждения, что последовательность фундаментальна. А именно:
(), n>N, m>N (), |xn-xm| .
Критерий Коши |
Определение. Говорят, что последовательность { } удовлетворяет условию Коши, если для любого числа >0 существует такой номер N, зависящий от , что для всех номеров m и n таких, что n≥N, m≥N, справедливо неравенство < (*). Последовательность, удовлетворяющая условию Коши, называется фундаментальной. Условие (*) можно сформулировать иначе: для любого числа >0 существует такой номер N, зависящий от , что для всех номеров n N и всех натуральных p выполняется условие: . Теорема (критерий Коши).Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши. Доказательство. Необходимость. Пусть последовательность { } сходится и . Зададим >0, тогда существует такой номер N, что для всех номеров n N выполняется неравенство . Пусть n N и m N, тогда , то есть выполняется условие Коши. Достаточность. Пусть { } удовлетворяет условию Коши, то есть для любого >0 существует номер N, что для n N и m N выполняется неравенство . Пусть =1, тогда существует номер N такой, что при n N и m N выполняется . В частности, если n N и m=N , то , то есть при n N . Это значит, что последовательность {x }, n=N , N +1,…ограничена. Поэтому в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса существует ее сходящаяся подпоследовательность { }. Пусть . Зададим >0. Тогда существует такой номер K ,что для всех номеров K K или, что то же самое, для всех n n выполняется неравенство Обозначим через =max{ N,n } и зафиксируем некоторое n . Тогда для всех n N имеем , что и означает, что |
|
Пример. Рассмотрим последовательность : xn = 1+1 / 2+1 / 3+....+1 /n
Для исследования на сходимость воспользуемся определением фундаментальности Так как |xn+p - xn| = , то при p=n |xn+p - xn|> . Очевидно, что определение фундаментальной последовательности не выполняется. В силу критерия Коши эта последовательность не имеет предела. 3.8 Монотонные последовательности
Определение.
1. Последовательность возрастает, если
xn< : каждый член последовательности меньше последующего;
2. Последовательность убывает, если
(): каждый член последовательности больше последующего;
3. Последовательность не возрастает, если
: каждый член последовательности не меньше последующего;
4. Последовательность не убывает, если
(): каждый член последовательности не больше последующего;
5. Последовательность называется монотонной, если она является или возрастающей, или убывающей, или не возрастающей, или не убывающей.
6. У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.
7. Предел последовательности, все члены которой равны числу , равен .
8. Теорема 13. Если монотонная последовательность ограничена, то она сходится.
Доказательство. Так как последовательность ограничена, то множество ее элементов имеет точные верхнюю и нижнюю грани. Пусть – неубывающая последовательность и – точная верхняя грань множества ее элементов. Это означает, что для любого числа можно указать такой элемент , что и . Эти два неравенства равносильны неравенству или . Так как – неубывающая последовательность, то при выполняется или . Это означает, что при выполняется или . Таким образом, . Аналогично доказывается случай, когда – невозрастающая последовательность.
|
Замечание 1. Условие ограниченности монотонной последовательности представляет собой необходимое и достаточное условие ее сходимости. Действительно, по теореме 8 сходящаяся монотонная последовательность ограничена.
Замечание 2. Сходящаяся последовательность может и не быть монотонной. Например, последовательность сходится к числу ноль, но не является монотонной.
Замечание 3. Если последовательность неубывающая сходящаяся и - ее предел, то для всех номеров n выполняется неравенство . Аналогично, если невозрастающая сходящаяся последовательность и – ее предел, то для всех номеров n справедливо .
Теорема 13 (теорема Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности действительных чисел, можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
.
Теорема (Вейерштрасс). Любая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Доказательство. Докажем теорему для монотонной возрастающей последовательности . Докажем, что точная верхняя граница для последовательности и будет ее пределом.
Действительно, по определению точной верхней границы
Кроме того, какое бы ни взять число , найдется такой номер , что
Так как последовательность монотонна, то при будет , а значит, и и выполняются неравенства
откуда и следует, что .
Эта замечательная теорема дает достаточные условия существования предела. Из нее, например, следует, что последовательность площадей правильных -угольников, вписанных в окружность единичного радиуса, имеет предел, так как является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Предел этой последовательности обозначается .
С помощью предела монотонной ограниченной последовательности определяется играющее большую роль в математическом анализе число - основание натуральных логарифмов:
. Некоторые замечательные пределы.
|
|
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!