Теорема о взаимности возможных работ

Рассмотрим два состояния какого-либо сооружения, например балки на двух опорах (рис. 15.1,а). В состоянии i на эту балку действует обобщённая сила F_i, а состоянии j – обобщённая сила F_j. Обобщённые силы F_i и F_j в упомянутых состояниях прикладываются статическим способом. На рис. 15.1,а показаны действительные (D_ii, D_jj) и возможные (D_ij, D_ji) перемещения по направлению обобщённых сил (о статическом способе приложения нагрузки и о смысле понятий "действительное перемещение", "возможное перемещение" см. в п. 10.2 десятой лекции второй части "Лекций по строительной механике стержневых систем").

Вычислим работу обобщённых сил F_i и F_j от их совместного воздействия. Сначала статическим способом приложим обобщённую силу F_i, которая на перемещении D_ii будет совершать действительную работу W_ext,ii (рис. 15.1,б). После окончательного формирования обобщённой силы F_i статическим способом приложим обобщённую силу F_j. Балка получит дополнительные деформации и перемещения: D_ij – возможное перемещение в направлении обобщённой силы F_i от действия обобщённой силы F_j, D_jj – действительное перемещение в направлении обобщённой силы F_j от её же воздействия (рис. 15.1,б внизу). Постоянная по величине обобщённая сила F_i совершает возможную работу W_ext,ij на перемещении D_ij, а статически приложенная сила F_j – действительную работу W_ext,jj на перемещении D_jj. Суммарная работа внешних обобщённых сил будет равна

.

В п. 10.2 десятой лекции получены зависимости для вычисления действительной и возможной работы внешних обобщённых сил F_i и F_j:

,

,

.

Таким образом, выражение суммарной работы от совместного действия обобщённых сил F_i и F_j в случае, когда первой прикладывается сила F_i, а второй F_j, примет вид:

. (15.1)

Рассмотрим обратный порядок приложения обобщённых сил: первой приложим статическим способом обобщённую силу F_j, а затем, после её окончательного формирования, – обобщённую силу F_i (рис. 15.1,в). Суммарная работа внешних обобщённых сил F_i и F_j в этом случае запишется:

.

Учитывая, что W_ext,ji = F_jD_ji, получим:

. (15.2)

Значение суммарной работы внешних обобщённых сил F_i и F_j не зависит от последовательности их приложения, т.е.

= .

Приняв во внимание соотношения (15.1) и (15.2) окончательно будем иметь:

F_iD_ij = F_jD_jj, или

W_ext,ij = W_ext,ji. (15.3)

Выражение (15.3) и составляет содержание теоремы о взаимности возможных работ внешних сил: возможная работа i-й обобщённой силы (внешних сил i-го состояния) на перемещениях, вызванных j-й обобщённой силой (внешними силами j-го состояния), равна возможной работе j-й обобщённой силы (внешних сил j-го состояния) на перемещениях, вызванных i-й обобщённой силой (внешними силами i-го состояния). В строительной механике эта теорема носит имя итальянского учёного Энрико Бетти (1823–1892).

Без доказательства отметим справедливость теоремы Бетти для внутренних сил

W_int,ij = W_int,ji,

т.е. возможная работа внутренних сил i-го состояния на деформациях j-го состояния равна возможной работе внутренних сил j-го состояния на деформациях i-го состояния.

Из теоремы Бетти, как частный случай, вытекают другие теоремы взаимности строительной механики, широко используемые в расчётах сооружений.