Матрицы. Определение. Действия над матрицами.

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a _ij, i=1,..., m, j=1,..., n:

расположенных в m строках и n столбцах. Матрица называется квадратной, если m=n (n - порядок матрицы).

Линейные матричные операции
По определению, чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить на это число все элементы матрицы.
Суммой двух матриц одинаковой размерности, называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых.

Произведение матриц определяется следующим образом. Пусть заданы две матрицы A и B, причем число столбцов первой из них равно числу строк второй. Если

, ,

то произведением матриц A и B, называется матрица

,

Элементы которой вычисляются по формуле

c _ij =a _i1 b _1j + a _i2 b _2j +... +a _in b _nj, i=1,..., m, j=1,..., k.

Произведение матриц A и B обозначается AB, т.е. C=AB.

ПРИМЕР 1. Действия с матрицами.

Произведение матриц, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей. Если AB=BA, то матрицы A и B называются перестановочными.

ПРИМЕР 2. Проверка перестановочности матриц.

Для квадратных матриц определена единичная матрица - квадратная матрица, все диагональные элементы которой единицы, а остальные - нули:

Единичная матрица чаще всего обозначается буквой E или E _n, где n - порядок матрицы. Непосредственным вычислением легко проверить основное свойство единичной матрицы:

AE=EA=A.

Скалярной матрицей называется диагональная матрица с одинаковыми числами на главной диагонали; единичная матрица - частный случай скалярной матрицы.

ПРИМЕР 3. Умножение матрицы на матрицы специального вида

Для квадратных матриц определена операция возведения в целую неотрицательную степень:

A ⁰ =E, A ¹ =A, A ² =AA,..., A ⁿ =A ^n-1 A,....

ПРИМЕР 4. Возведение матрицы в степень.

Для прямоугольных матриц определена операция транспонирования. Рассмотрим произвольную прямоугольную матрицу A. Матрица, получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к матрице и обозначается A ^T:

, .

Верны соотношения:
(A^T )^T =A;
(A+B)^T=A^T +B^T;
(AB)^T =B^T A^T.

Квадратная матрица A, для которой A ^T =A, называется симметричной. Элементы такой матрицы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны.

Квадратная матрица A называется обратимой, если существует такая матрица X, что
AX=XA=E.
Матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A ^-1, т.е.
A A ^-1 =A ^-1A=E.

Известно, что если матрица A невырождена (т.е ее определитель отличен от нуля), то у нее существует обратная матрица A ^-1.

Верно соотношение: (A^-1)^T =(A^T ) ^-1.

Обратная матрица. Теорема существования обратной матрицы. Свойства обратных матриц.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E: