История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-11-18 | 311 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
У линейного упругого тела компоненты тензоров напряжений и деформаций связаны линейными зависимостями.
(e) = (а)(s), (19)
или (s) = (с)(e), (20)
где
(e)=(ex,ey,ez,gxy,gyz,gzx)T - матрица-столбец, составленная из компонент тензора деформаций,
(s) = (sx,sy,sz,txy,tyz,tzx)Т - матрица-столбец, составленная из компонент тензора напряжений,
(а) – матрица (6х6) упругих коэффициентов податливости материала,
(с) = (а)-1 _-_ матрица упругих коэффициентов жесткости материала.
В п.10 показано, что компоненты тензоров деформаций и напряжений могут быть интерпретированы как обобщенные перемещения и соответствующие им обобщенные силы. Поэтому матрицам (а) и (с) присущи все свойства, описанные в п.п. 7 и 8 для матриц жесткости и податливости линейных упругих систем.
Следовательно, обе матрицы симметричны относительно главной диагонали. Поэтому из 36 коэффициентов каждой из них 21 коэффициент может быть независимым. В общем случае линейно упругого материала его упругие свойства описываются 21-й упругой постоянной.
Потенциальная энергия единицы объема линейного упругого тела п может быть представлена в виде однородной квадратичной функции компонент тензора напряжений, коэффициентами которой являются компоненты матрицы податливости:
п (s) = (21)
или однородной квадратичной функцией компонент тензора деформаций, коэффициентами которой являются компоненты матрицы жесткости:
п (e) = (22)
И, наконец, формула (13) в обозначениях этого параграфа принимает вид:
п (s,e) = 1/2(sxex + syey +... + tzxgzx) =1/2 (s· ·e), (23)
следовательно,
потенциальная энергия единицы объема линейного упругого тела равна половине свертки тензора напряжений с тензором деформаций.
|
Если известны функции (21) или (22), то уравнения, связывающие напряжения и деформации могут быть получены по формулам теорем Лагранжа (15) и Кастильяно (16):
sj = (24)
ej = (25)
Разумеется, что те же результаты получатся, если коэффициенты квадратичных форм (21) и (22) подставить в соотношения (19) и (20).
Преобразуем выражение (23), представив тензоры напряжений и деформаций суммой шаровых тензоров и девиаторов:
s = s0 I + Ds, s0 = ,
e = 1/3 q I + De, q = ex+ey+ez
где I – единичный тензор, s0 –среднее нормальное напряжение, q - относительное изменение объема. Получим
п = 1/2(s0 I + Ds) · · (1/3 q I + De) =
= 1/6 s0q(I· · I) + 1/2s0(I· · De) +1/6q(Ds· · I) + 1/2 (Ds· · De) (26).
ВсНапомним, что девиатор – это такой тензор, у которого равен нулю первый инвариант, то есть сумма элементов, стоящих на главной диагонали. Легко проверяется, что свертка девиатора с единичным тензором равна нулю, поэтому в ноль обращаются второе и третье слагаемые в (26). Свертка двух единичных тензоров равна 3, поэтому первое слагаемое превращается в 1/2s0q.
В результате, формула (26) принимает вид:
п = 1/2s0q + 1/2 (Ds· · De) = пио + пиф. (27)
Первое слагаемое называют энергией изменения объема:
пио = 1/2s0q (28),
а второе – энергией изменения формы:
пиф = 1/2 (Ds· · De) (29).
|
|
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!