Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2017-10-08 | 649 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть функция определена на отрезке . Разобьем отрезок на частей точками . Выберем на каждом из полученных отрезков произвольную точку .
Интегральной суммой функции на отрезке называется сумма
или
, где .
Наибольшую из длин обозначим через .
Определенным интегралом функции на отрезке называется число, равное пределу интегральной суммы и обозначается , т.е.
.
Из условия следует, что .
Пределами интегрирования называются числа и .
Подынтегральной функцией называется функция .
Если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует.
Подчеркнем, что определенный и неопределенный интегралы существенно различаются между собой. Если неопределенный интеграл представляет семейство функций, то определенный - есть определенное число.
Свойства определенного интеграла
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
.
2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций (верно для любого числа слагаемых):
.
3. При перемене порядка интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный:
.
4. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых а, b и с справедливо
.
5. Обе части неравенства можно почленно интегрировать, т.е. если для всех , то
.
6. Для определенный интеграл становится функцией от переменного верхнего предела . Производная этой функции равна значению подынтегральной функции в точке :
.
7. Теорема о среднем. Если функция непрерывна на , то существует точка такая, что
.
Значение называется средним значением функции на .
|
у
В
А
Площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием и высотой, равной значению функции в точке .
Геометрически теорема о среднем означает, что на отрезке найдется такая точка, что площадь под кривой на этом отрезке будет равна площади прямоугольника со сторонами и .
Формула Ньютона-Лейбница
Формула Ньютона-Лейбница связывает неопределенный и определенный интегралы.
Если функция непрерывна на , а функция - одна из ее первообразных, т.е. , то определенный интеграл от функции f(х) на [а, b] равен приращению первообразной F(х) на этом отрезке, то есть
.
Эта формула сводит нахождение определенного интеграла к нахождению неопределенного интеграла.
Разность называется приращением первообразной и обозначается .
Подчеркнем, что при применении формулы Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную для подынтегральной функции, например, имеющую наиболее простой вид при С = 0 (в дальнейшем не будем записывать константу при нахождении неопределенного интеграла, поскольку будем считать ее равной нулю).
Пример 1. Вычислить определенный интеграл .
Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем
.
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!