Доверительный интервал и доверительная вероятность

Вероятность – это объективная мера возможности события. Вероятность ρ какого-либо события приближенно равна отношению числа благоприятных событий m к числу n испытаний, проведенных для их обнаружения.

(2.1)

Это равенство тем точнее, чем больше проведено испытаний для обнаружения данного события.

(2.2)

Бросая монетку n раз и наблюдая m выпадение «орла», мы можем определить вероятность ρ этого события. Эксперименты показывают, что вероятность ρ выпадения «орла» равна 0,5.

Если вероятность обнаружения непрерывной величины x в интервале (x, x+Δx) равна dρ, то величина

(2.3)

называется плотностью вероятности или функцией распределения вероятности.

Из соотношения (2.3) имеем

(2.4)

Проинтегрировав выражение (2.4), получим вероятность ρ обнаружения величины x в любом заданном интервале (х ₁, х ₂):

(2.5)

Оценка значения величины х с помощью интервала (х₁,х₂) называется доверительной оценкой, Р – доверительной вероятностью или надежностью оценки, интервал (х₁,х₂) – доверительным интервалом.

Исследования показали, что преобладающая часть измеряемых величин и их случайных погрешностей подчиняется классической теории ошибок. В основу классической теории ошибок положены две аксиомы:

1. Вероятность появления малых ошибок больше вероятности появления больших случайных ошибок, т.е. вероятность появления случайных ошибок есть убывающая функция их величины.

2. Вероятность появления случайных ошибок не зависит от их знака, т.е случайные ошибки, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку, встречаются одинаково часто.

При небольшом числе измерений n (2£n<30) для результатов измерений и их погрешностей наиболее корректной является функция распределения Стьюдента [I]. В этом случае доверительных интервал для прямых равноточных измерений величины х имеет вид

, (2.6)

где – среднее арифметическое значение;

– абсолютная погрешность;

– случайная погрешность;

t – коэффициент Стьюдента;

п – число измерений;

Δ х_пр – приборная погрешность.

Среднее арифметическое значение х_ср называется точечной оценкой истинного значения х₀ величины х. Оно является наиболее вероятным и максимально приближенным к х₀ значением. Абсолютная погрешность определяется соотношением (2.8) при условии, если систематические исключаемые погрешности учтены, приборные погрешности, как и случайные, описываются классическим распределением, они одинаковой надежности. Значения коэффициента Стьюдента t приводятся в специальных таблицах. Они зависят от доверительной вероятности и числа измерений. Поэтому это таблицы с двумя входами ρ и п, т.е. для определения значений t надо задаться надежностью Р (в лабораторном практикуме Р =0,95) и надо знать число измерений п. Так, при Р =0,95 и п =5 t =2,78, а при п =2 и той же надежности t =12,7. Приборная погрешность определяется классом точности, указывается в паспорте прибора или приводится в таблицах ГОСТа. Ее надежность, как правило, равна 0,997. Поэтому при заметном вкладе приборных погрешностей в соотношение (2.8) надежность интервала (2.6) несколько больше 0,95. надежность оценки 0,95 значит, что в 95 случаях из 10 доверительный интервал «накрывает» истинное значение величины.

Конечная запись как прямых, так и косвенных измерений делается согласно ГОСТу в виде

(2.10)

Величина ε, равная отношению оценок абсолютной погрешности и истинного значения измерений, называется относительной погрешностью измерений, служит для сопоставлении точности измерений разных величин, выражается в процентах. Очевидно, чем меньше относительная погрешность, тем точнее измерения.