Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2017-09-10 | 192 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Модуль вектора. Направляющие косинусы. [3, §5]. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Выражение скалярного произведения через координаты. Некоторые приложения скалярного произведения. [3, §6]. Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения. Выражение векторного произведения через координаты. Некоторые приложения векторного произведения. [3, §7]. Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения. Выражение смешанного произведения через координаты. Некоторые приложения смешанного произведения. [3, §8]. Собственные векторы и собственные значения матриц. [4, гл. V, §4].
Пример 3. Дано: , , векторы и составляют стороны параллелограмма . Найти: 1) длины диагоналей параллелограмма ; 2) острый угол между диагоналями параллелограмма ; 3) площадь параллелограмма .
Решение: Сделаем схематический чертеж:
1. Найдем длины диагоналей параллелограмма как длины векторов и .
Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора, то есть и . Имеем
.
2. Острый угол между диагоналями параллелограмма найдем по формуле .
Находим скалярное произведение векторов и :
Значит, и .
3. Площадь параллелограмма найдем по формуле .
По свойствам векторного произведения имеем
Значит,
Пример 4. Даны точки ; ; ; . Требуется: 1) записать векторы , , в ортонормированном базисе; 2) найти длины векторов , , ; 3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства; 4) найти острый угол между векторами и ; 5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ; 6) найти площадь треугольника ; 7) найти объем пирамиды .
|
Решение: 1. Если , , то вектор .
В данном случае имеем .
Значит, , , .
2. Длина вектора может быть найдена по формуле .
Имеем ; ;
.
3. Покажем, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства. Для этого найдем определитель, составленный из координат этих векторов:
Так как , то векторы , , образуют базис трехмерного пространства.
4. Острый угол между векторами и найдем по формуле .
Скалярное произведение векторов и найдем, используя формулу: , где , . В данном случае .
Тогда и .
5. Алгебраическую проекцию вектора на вектор найдем по формуле .
Так как , то .
6. Площадь треугольника найдем по формуле .
Векторное произведение векторов и можно найти по формуле .
В данном случае
Тогда , . Значит, .
7. Объем пирамиды найдем по формуле .
Смешанное произведение векторов , и можно найти по формуле .
Тогда . Значит, .
Пример 5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .
Решение: Собственные значения матрицы находятся из уравнения , где – единичная матрица того же порядка, что и матрица .
В данном случае ,
.
Решением уравнения являются числа , . Это и есть собственные значения матрицы .
Собственный вектор , соответствующий собственному значению , определяется из системы уравнений .
Находим собственный вектор , отвечающий собственному значению : или . Пусть , тогда .
Значит, – собственный вектор, соответствующий собственному значению .
Находим собственный вектор , отвечающий собственному значению : или . Пусть , тогда .
Значит, – собственный вектор, соответствующий собственному значению .
|
|
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!