Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-09-10 | 381 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть задано числовое множество Х. Правило, сопоставляющее каждому числу х из множества Х единственное действительное число у, называют
числовой функцией, заданной на множестве Х.
х- независимая переменная (аргумент);
у - зависимая переменная (функция).
Символическая запись функции имеет вид у = f(х)
Множество Х называется областью определения функции у и обозначается D(у). Е(у) - область (множество) значений функции у – множество всех значений переменной у, которые она принимает при всех допустимых значениях х.
Функция у = f(х) называется четной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение -х также принадлежит области определения и выполняется равенство f(х) = f(-х).
Согласно определению, четная функция определена на множестве, симметричном относительно начала координат. График четной функции симметричен относительно оси ординат (рис. 1).
Рис. 1. График четной функции
Примеры четных функций:
Функция у = f(х) называется нечетной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение -х также принадлежит области определения и выполняется равенство f(x)= -f(x).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 2).
Примеры нечетных функций:
Рис. 2. График нечетной функции
При построении графиков четных и нечетных функций достаточно построить только правую ветвь графика — для положительных значений аргумента. Левая ветвь достраивается симметрично относительно оси оy для четной функции и кососимметрично (т. е. симметрично относительно начала координат) для нечетной.
Конечно, большинство функций не являются ни четными, ни нечетными. Таковы, например, функции:
|
Функция у=f(х) называется периодической с периодом , если при всех значениях х из области её определения выполняются равенства .
Если Т – период функции, то при любом \ число также является периодом функции.
Наименьший положительный период функции называется её основным периодом.
Сумма, разность, произведение и частное двух функций, имеющих период Т, обладает тем же периодом.
Сумма n периодических функций с периодами имеет период . Если функция у = f(х) имеет период Т, то функция имеет период .
Нулем функции называется такое действительное значение х, при котором значение функции равно нулю.
Для того чтобы найти нули функции, следует решить уравнение f(х)=0. Действительные корни этого уравнения являются нулями функции у=f(х),и обратно. Нули функции представляют собой абсциссы точек, в которых график этой функции либо пересекает ось абсцисс, либо касается ее. Например, функция у = х3- 3x имеет нули в точках х = 0, , , а функция имеет нуль в точке х = 2.
Функция может и не иметь нулей. Такова, например, функция
Область определения функции совпадает с ОДЗ (областью допустимых значений) правой части , т.е. с множеством всех значений х, при которых вычисляется.
Задача. Найти область определения функции
Решение. Первая часть вычисляется при всех значениях х, для которых подкоренное выражение неотрицательно. Поэтому область определения D(y) будет найдена из условия . Решая это неравенство, получаем , т.е.
При анализе функции полезно проверить, обладает ли она свойством четности или нечетности. Наличие этих свойств позволяет упростить построение графика функции. Достаточно построить график функции для . Тогда для четной функции часть графика для получается симметричным отображением построенного графика относительно оси Оу, а для нечетной – относительно начала координат.
Задача. Выяснить, обладают ли данные функции свойством четности или нечетности:
а) б) .
Решение.
а) .
Итак, и, следовательно, функция является четной.
|
б) , т.е. и, следовательно, функция у(х) является нечетной. Здесь использовано свойство модуля (абсолютной величины) числа: .
Монотонность функции.
Переменную величину называют монотонной, если она изменяется только в одном направлении, т.е. либо только возрастает, либо только убывает. Очевидно, что движение точки х в сторону положительного направления оси абсцисс является монотонно возрастающим, а в противоположную сторону - монотонно убывающим.
Функция у = f(х) называется монотонно возрастающей на интервале (а, b), если для любых х1, и х2, принадлежащих этому интервалу, из неравенства х2 >х1, следует неравенство f (х 2 ) >f(x 1 ) (рис. 3а).
Функция у = f(х) называется монотонно убывающей на интервале (а, b), если для любых х1 и х2, принадлежащих этому интервалу, из неравенства х2 > х1, следует неравенство f (x2 ) <f(x1) (рис. 3б).
Рис. 3. Графики монотонно возрастающей и монотонно убывающей функций.
Естественно, что интервал (а, b)предполагается взятым из области определения функции.
Выпуклость функции
Говорят, что функция у = f(х) выпукла вверх в точке х0, если существует окрестность точки х0 такая, что для всех ее точек х касательная к графику функции в точке М0(х0, у0) лежит выше графика (рис. 4а). Говорят, что функция
у = f(х) выпукла вниз в точке х0, если существует окрестность точки х0 такая, что для всех ее точек х касательная к графику функции а точке М0(х0; у0) лежит ниже графика (рис. 4б).
Если на некотором промежутке (а;b ) все касательные к графику функции
у = f(х) лежат выше (соответственно ниже) самого графика, то на данном промежутке функция выпукла вверх (соответственно выпукла вниз).
Рис. 4. Графики выпуклой функции
Вопросы для самопроверки:
1. Что называется функцией?
2. Какие способы задания функции Вы знаете?
3. Сформулируйте основные свойства функции.
Предел функции
Число А называется пределом функции в точке х0 (или при х х0), если для любого положительного числа найдется такое положительное число (), что для всех х х0 , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .
Обозначают
Функция называется бесконечно малой при , если .
Функция называется бесконечно большой при , если или .
Теоремы о пределах
1.
2.
3.
4.
5.
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел
|
|
|
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!