Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-06-13 | 236 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Элементы теории функции нескольких переменных
Примеры и определение функции нескольких переменных
Существует большое количество величин, которые зависят от нескольких других. Например, падение напряжения на резисторе U зависит от силы тока I и сопротивления R: .
Объем комнаты V зависит от длины l, ширины d и высоты h: .
Расстояние r от начала координат до точки A зависит от трех ее координат
.
Температура в каждой точке нагретого тела зависит от четырех переменных - координат точки и времени :
.
Эти и еще множество других зависимостей можно объединить понятием функции нескольких переменных.
Если каждому набору значений переменных соответствует вполне определенное значение величины y, то говорят, что y является функцией n переменных, и записывают
.
Для функций нескольких переменных могут использоваться и другие обозначения, например:
.
Областью определения функции нескольких переменных называется совокупность значений переменных, при которых функция имеет смысл.
Пример. Найти и изобразить область определения функции
.
Так как на множестве действительных чисел логарифм можно найти только от положительных чисел, то должно выполняться условие:
или .
Подстановкой значений переменных можно убедиться, что это часть плоскости, лежащая выше прямой .
3.2. Способы задания, графическое изображение
Рассмотрим способы задания функции нескольких переменных.
1. Аналитический способ.
а) Функция задана в явном виде формулой , позволяющей по значениям переменных вычислить значение функции, например, .
б) Функция задана в неявном виде соотношением , связывающим значение функции и переменные, например, ; .
|
2) Табличный способ задания функции нескольких переменных.
Практически этот способ удобен только для функции двух переменных:
y 1 | y 2 | ... | ym | ||
x 1 | z 11 | z 12 | ... | z 1 m | |
x 2 | z 21 | z 22 | ... | z 2 m | |
... | ... | ... | ... | ... | |
xn | zn 1 | zn 2 | ... | znm |
3) Графическое изображение функции нескольких переменных.
Функцию одной переменной можно изобразить графически линией. Функцию двух переменных можно изобразить поверхностью. Например, на рисунке представлено изображение поверхности, задаваемой уравнением . Поверхность, заданная уравнением такого вида, называется параболоидом.
Уравнение сферы с центром в начале координат представляет собой неявную функцию двух переменных, которая может быть представлена двумя явными функциями:
и .
Линией уровня функции двух переменных называется линия, на которой функция сохраняет постоянное значение. Например, линиями уровня функции будут окружности различного радиуса
.
Поверхностью уровня функции трех переменных называется поверхность, на которой она сохраняет постоянное значение. Например для функции трех переменных поверхностями уровня будут плоскости, уравнения которых имеют вид .
Функция большего числа переменных также может принимать постоянные значения, но объект, соответствующий совокупности значений переменных, для которых функция принимает постоянное значение, представить графически нельзя. Тем не менее, по аналогии с функциями трех переменных, его называют поверхностью или гиперповерхностью уровня.
Элементы теории функции нескольких переменных
Примеры и определение функции нескольких переменных
Существует большое количество величин, которые зависят от нескольких других. Например, падение напряжения на резисторе U зависит от силы тока I и сопротивления R: .
Объем комнаты V зависит от длины l, ширины d и высоты h: .
Расстояние r от начала координат до точки A зависит от трех ее координат
.
Температура в каждой точке нагретого тела зависит от четырех переменных - координат точки и времени :
|
.
Эти и еще множество других зависимостей можно объединить понятием функции нескольких переменных.
Если каждому набору значений переменных соответствует вполне определенное значение величины y, то говорят, что y является функцией n переменных, и записывают
.
Для функций нескольких переменных могут использоваться и другие обозначения, например:
.
Областью определения функции нескольких переменных называется совокупность значений переменных, при которых функция имеет смысл.
Пример. Найти и изобразить область определения функции
.
Так как на множестве действительных чисел логарифм можно найти только от положительных чисел, то должно выполняться условие:
или .
Подстановкой значений переменных можно убедиться, что это часть плоскости, лежащая выше прямой .
3.2. Способы задания, графическое изображение
Рассмотрим способы задания функции нескольких переменных.
1. Аналитический способ.
а) Функция задана в явном виде формулой , позволяющей по значениям переменных вычислить значение функции, например, .
б) Функция задана в неявном виде соотношением , связывающим значение функции и переменные, например, ; .
2) Табличный способ задания функции нескольких переменных.
Практически этот способ удобен только для функции двух переменных:
y 1 | y 2 | ... | ym | ||
x 1 | z 11 | z 12 | ... | z 1 m | |
x 2 | z 21 | z 22 | ... | z 2 m | |
... | ... | ... | ... | ... | |
xn | zn 1 | zn 2 | ... | znm |
3) Графическое изображение функции нескольких переменных.
Функцию одной переменной можно изобразить графически линией. Функцию двух переменных можно изобразить поверхностью. Например, на рисунке представлено изображение поверхности, задаваемой уравнением . Поверхность, заданная уравнением такого вида, называется параболоидом.
Уравнение сферы с центром в начале координат представляет собой неявную функцию двух переменных, которая может быть представлена двумя явными функциями:
и .
Линией уровня функции двух переменных называется линия, на которой функция сохраняет постоянное значение. Например, линиями уровня функции будут окружности различного радиуса
.
Поверхностью уровня функции трех переменных называется поверхность, на которой она сохраняет постоянное значение. Например для функции трех переменных поверхностями уровня будут плоскости, уравнения которых имеют вид .
|
Функция большего числа переменных также может принимать постоянные значения, но объект, соответствующий совокупности значений переменных, для которых функция принимает постоянное значение, представить графически нельзя. Тем не менее, по аналогии с функциями трех переменных, его называют поверхностью или гиперповерхностью уровня.
|
|
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!