История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2022-10-29 | 33 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Переход от дискретной системы к непрерывной.
2. Вариационный принцип для непрерывной одномерной системы (принцип наименьшего действия).
На конкретном примере продемонстрируем, каким образом можно построить лагранжев формализм при переходе от дискретных систем к непрерывным.
Переход от дискретной системы к непрерывной.
Для простоты рассмотрим дискретную модель бесконечно длинной одномерной струны. Дискретная модель представляется в виде бесконечной одномерной совокупности материальных точек массы , расположенных на расстоянии друг от друга, и соединенных пружинами жесткости k. Обозначим продольное смещение n -ой материальной точки из положения равновесия в момент времени t величиной , а скорость смещения -
Функция Лагранжа этой дискретной модели имеет вид:
(1.1)
В выражении (1.1) потенциальная энергия взаимодействия материальных точек посредством потенциальной упругой силы определена так:
(1.2)
Из соотношения (1.2) следует
(1.3)
Следовательно, - сила, с которой материальные точки «n -1» и «n +1» действуют на материальную точку «n».
Уравнения Лагранжа-Эйлера, которые можно получить на основе функции Лагранжа (1.1), выглядят так:
(1.4)
Как видно из (1.4) смещение является обобщенной координатой системы.
|
Используя уравнение (1.1) и (1.4), получим:
(1.5)
Таким образом, если система состоит из бесконечного числа материальных точек, то такая система имеет бесконечное число степеней свободы и этим степеням свободы соответствует бесконечное число обобщенных координат и уравнений движения (1.5), которым удовлетворяют эти координаты.
Перейдем теперь к непрерывной одномерной системе типа одномерной бесконечной струны и рассмотрим распространение продольных возмущений в этой струне. Для этого осуществим следующую схему замены:
- линейная плотность.
тогда функция Лагранжа (1.1) примет вид:
где - модуль Юнга.
Таким образом, функция Лагранжа L имеет вид:
(1.6)
Согласно (1.6) L (x) можно называть плотностью функции Лагранжа или лагранжианом и эта плотность функции для распространения продольных возмущений вдоль одномерной струны определяется следующим образом:
(1.7)
Классические поля, соответствующие определённым элементарным частицам, являются непрерывными волновыми функциями, обладающими определенными трансформационными свойствами относительно преобразования пространственно-временных координат.
Одним из наиболее подходящих формализмов для построения уравнений движения для полевых функций является математический аппарат непрерывных систем, в котором используются вариационные принципы. В системе вариационных принципов лагранжев формализм более приспособлен для учета квантовомеханических и трансформационных релятивистских свойств элементарных частиц.
|
|
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!